자바 코딩테스트 강좌, Ax + By = C

본 강좌에서는 A, B, C가 주어졌을 때 Ax + By = C의 정수해를 구하는 문제를 다룹니다.

문제 설명

주어진 정수 A, B, C에 대해 Ax + By = C를 만족하는 모든 정수 쌍 (x, y)를 구하는 프로그램을 작성하시오.
이때 A, B, C는 다음과 같은 조건을 만족합니다:

1 ≤ |A|, |B|, |C| ≤ 10^3
x와 y는 정수입니다.

예를 들어, A = 2, B = 3, C = 6의 경우, 가능한 해는 (0, 2), (3, 0), (1, 1) 등입니다.
그러나, 해가 무한히 존재하는 경우도 있으며, 해가 존재하지 않을 때도 있습니다.

문제 풀이 과정

1. 문제 분석

문제를 해결하기 위해 먼저 문제를 분석해보면, 주어진 식 Ax + By = C는 x와 y의 조합을 찾는 것입니다.
A와 B의 부호에 따라 가능한 해의 개수와 범위가 달라집니다.
예를 들어, A와 B 모두 0인 경우는 예외로, 그 외의 경우는 두 변수 중 하나가 다른 변수를 기준으로 어떻게 변할 수 있는지를 파악하는 것이 중요합니다.

2. 해의 개수 계산

문제의 해를 찾기 위해, 먼저 C가 A와 B의 최대공약수(GCD)가 되는지를 확인해야 합니다.
GCD가 C의 약수가 아니면 해는 존재하지 않으니, GCD를 이용해 간략하게 아래와 같이 설명할 수 있습니다.

                gcd(a, b) = ax + by

여기서 x, y는 정수입니다. 이 식을 변형하여 정수해를 찾을 수 있음을 알 수 있습니다.

3. 자바 구현

이제 위의 논리를 바탕으로 자바를 사용하여 프로그램을 구현해보겠습니다.
각 단계에 대해 설명하고, 코드도 포함하겠습니다.

3.1. 최대공약수 (GCD) 계산 함수


public static int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

위 코드는 두 수 a, b의 최대공약수를 계산하는 Euclid 알고리즘을 이용한 함수입니다.

3.2. 해 찾기 및 출력 함수


public static void findSolutions(int A, int B, int C) {
    // GCD 계산
    int gcdAB = gcd(Math.abs(A), Math.abs(B));
    
    // C가 GCD의 배수인지 확인
    if (C % gcdAB != 0) {
        System.out.println("해가 없습니다.");
        return;
    }

    // x,y 계산 로직
    int x = C / A;
    int y = 0; // 초기 y 값
    // 해 출력
    System.out.println("가능한 해: x = " + x + ", y = " + y);
    // 또는 반복문을 사용하여 다른 해 출력 가능
}

4. 전체 코드


public class LinearEquationSolver {
    public static int gcd(int a, int b) {
        while (b != 0) {
            int temp = b;
            b = a % b;
            a = temp;
        }
        return a;
    }

    public static void findSolutions(int A, int B, int C) {
        int gcdAB = gcd(Math.abs(A), Math.abs(B));
        if (C % gcdAB != 0) {
            System.out.println("해가 없습니다.");
            return;
        }

        // Fixed-point iteration for solution finding
        for (int x = -1000; x <= 1000; x++) {
            if ((C - A * x) % B == 0) {
                int y = (C - A * x) / B;
                System.out.println("가능한 해: x = " + x + ", y = " + y);
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        findSolutions(2, 3, 6);
        // 추가 테스트 케이스
        findSolutions(1, -1, 0);
    }
}

위 코드를 사용하여 다양한 조합의 A, B, C에 대해 해를 찾을 수 있습니다.
해를 출력하는 부분은 직접 반복문을 통해 찾는 방식이며,
보통 수가 적을 경우 더 빠른 결과를 보여줍니다.

마무리 및 요약

이번 강좌에서는 Ax + By = C의 정수해를 구하는 방법에 대해 살펴보았습니다.
GCD를 사용하여 해가 존재하는지를 판별하고, 반복문을 사용하여 가능한 해를 출력하는 기본적인 방식에 대해 설명했습니다.
이러한 기법은 다양한 문제에 응용될 수 있으며, 알고리즘의 심화 학습에 큰 도움이 될 것입니다.