문제 설명
다리 놓기 문제는 다음과 같은 맥락에서 발생합니다. 당신은 N개의 다리를 놓고, M개의 교각을 건설하고자 합니다. 이 문제의 목표는 가능한 모든 다리 놓기 조합의 수를 계산하는 것입니다.
다리는 서로 겹치지 않아야 하며, 각 교각은 두 다리를 연결하는 역할을 수행합니다. 다리를 놓는 방법의 수를 계산하기 위해서는 조합(combination)과 동적 프로그래밍(dynamic programming)에 대한 지식이 필요합니다.
문제 정의
입력
- 크기 N (1 ≤ N ≤ 30): 다리의 수
- 크기 M (1 ≤ M ≤ N): 교각의 수
출력
- 다리를 놓을 수 있는 모든 방법의 수를 정수로 출력하십시오.
문제 접근 방법
다리 놓기 문제는 본질적으로 조합 문제입니다. 우리는 N개의 다리 중에서 M개를 선택하는 방법을 찾아야 합니다. 조합의 수는 다음 공식으로 계산됩니다:
C(N, M) = N! / (M! * (N-M)!)
하지만 factorial을 직접 계산하면 시간이 오래 걸리기 때문에, 동적 프로그래밍을 사용하여 효율적으로 계산할 수 있습니다. 우리는 두 개의 배열을 사용할 것입니다.
첫 번째 배열은 다리를 놓기 위해 선택한 교각의 개수를 기록하고, 두 번째 배열은 다리를 놓는 방법의 수를 기록합니다.
문제 풀이
1단계: 동적 프로그래밍 배열 초기화
먼저 DP 배열을 초기화합니다. dp[i][j]는 i개의 다리와 j개의 교각을 놓는 방법의 수를 의미합니다. 배열을 0으로 초기화한 후,
dp[0][0] = 1로 설정합니다. 이는 다리가 없고 교각도 없는 경우는 1가지 방법이 있다는 것을 의미합니다.
2단계: 점화식 구하기
다리를 하나 늘리거든 교각을 하나 놓는 선택이 가능합니다. 아래와 같은 점화식을 사용하여 dp 배열을 채워나갈 수 있습니다.
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
여기서 dp[i-1][j-1]는 i-1개의 다리와 j-1개의 교각을 놓을 때, 새로운 다리를 추가하는 경우이고,
dp[i-1][j]는 새로운 다리를 추가하지 않고 i-1개의 다리로 j개의 교각을 놓는 경우입니다.
3단계: 최종 결과 출력
모든 범위를 채운 후에, dp[N][M]를 출력하여 최종적으로 다리를 놓는 방법의 수를 알 수 있습니다.
자바 코드 구현
다리 놓기 문제를 해결하기 위한 자바 코드는 아래와 같습니다:
public class BridgeBuilding {
public static void main(String[] args) {
int N = 5; // 다리의 수
int M = 3; // 교각의 수
System.out.println(countWays(N, M));
}
public static int countWays(int n, int m) {
int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
for (int i = 0; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= Math.min(i, m); j++) {
if (j == 0) {
dp[i][j] = 1; // 모든 교각을 놓지 않는 경우
} else if (i > 0) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
}
}
}
return dp[n][m];
}
}
시간 복잡도
본 알고리즘의 시간 복잡도는 O(N*M)입니다. 이는 두 개의 이중 반복문을 사용하면서 DP 테이블을 채우는 과정에서 발생하는 시간입니다. 공간 복잡도는 O(N*M)으로, DP 배열을 저장하기 위한 공간을 고려해야 합니다.
마무리
이번 강좌에서는 ‘다리 놓기’ 문제를 다루어 보았습니다. 이 문제를 해결하기 위해서는 조합 이론과 동적 프로그래밍에 대한 이해가 필요합니다.
제시된 자바 코드를 통해 문제를 해결할 수 있었으며, 비슷한 유형의 문제를 접할 때에도 그런 접근법을 사용할 수 있을 것입니다.
다음 강좌에서는 또 다른 알고리즘 문제를 다뤄보도록 하겠습니다.