안녕하세요, 여러분! 이번 강좌에서는 파이썬을 이용한 코딩 테스트에서 자주 출제되는 알고리즘 문제 중 하나인 ‘나머지 합 구하기’에 대해 알아보겠습니다. 이 문제는 대량의 데이터 처리 및 모듈러 연산을 이해하고 사용하는 데 도움을 주는 좋은 예시입니다.
문제 설명
여러분은 N개의 정수로 이루어진 배열 A가 주어질 때, 배열의 부분 배열의 합을 K로 나눈 나머지를 구하는 문제를 해결해야 합니다. 부분 배열의 정의는 배열의 시작 인덱스와 끝 인덱스에 의해 정의된 연속된 배열의 집합입니다.
예를 들어 배열 A가 [3, 1, 4, 1, 5]이고 K가 2라고 가정하면, 모든 부분 배열의 합을 K로 나눈 나머지를 구해야 합니다. 이 문제는 기본적인 수학과 프로그래밍 스킬을 요구하며, 다양한 접근 방법으로 해결할 수 있습니다.
입력
- 첫 번째 줄에 두 개의 정수 N (1 ≤ N ≤ 100,000)과 K (1 ≤ K ≤ 10,000)가 주어진다.
- 두 번째 줄에 N개의 정수 A[1], A[2], …, A[N] (0 ≤ A[i] ≤ 109)가 주어진다.
출력
부분 배열의 합을 K로 나눈 나머지가 0인 부분 배열의 개수를 출력한다.
예제
입력
5 2
3 1 4 1 5
출력
4
접근 방법
이 문제를 해결하기 위해서는 다음과 같은 접근 방법을 사용할 수 있습니다.
1. 부분 배열의 정의 이해
부분 배열은 원 배열에서 연속된 원소들의 집합이므로, 주어진 배열에서 모든 가능한 부분 배열을 생성한 다음, 각 부분 배열의 합을 계산하고 K로 나눈 나머지를 확인해야 합니다.
2. 효율적인 계산 방법
부분 배열을 직접적으로 구하는 것은 최악의 경우 O(N2)의 시간 복잡도를 가지므로 비효율적입니다. 따라서, 누적합(Cumulative Sum)과 해시 맵(Hash Map)을 활용하여 이 문제를 O(N)으로 해결할 수 있습니다.
3. 누적합과 모듈러 연산 사용
누적합을 구하여 현재까지의 합을 K로 나눈 나머지를 저장합니다. 동일한 나머지 값을 가진 경우, 해당 인덱스 사이의 부분 배열의 합이 K로 나눠질 수 있다는 사실을 이용합니다.
코드 예시
def count_subarrays_with_zero_modulo(n, k, arr):
count = 0
mod_count = [0] * k
current_sum = 0
for num in arr:
current_sum += num
mod = current_sum % k
if mod < 0: # Python's mod can be negative, adjust it
mod += k
# If current modulo is zero, we can count it
if mod == 0:
count += 1
# Add the number of times this modulo has appeared before
count += mod_count[mod]
mod_count[mod] += 1
return count
# Example usage
n = 5
k = 2
arr = [3, 1, 4, 1, 5]
result = count_subarrays_with_zero_modulo(n, k, arr)
print(result) # Output: 4
결과 분석
위 코드에서 count_subarrays_with_zero_modulo 함수는 배열에 있는 부분 배열의 합이 K로 나눠진 결과가 0인 경우의 수를 세는 함수입니다. 이 과정에서 누적합을 통해 각 인덱스의 합을 계산하고, 해시 맵을 통해 같은 나머지를 가진 경우를 카운트합니다. 이렇게 함으로써, 우리는 O(N)의 시간 복잡도로 문제를 해결할 수 있습니다.
마무리
이번 강좌를 통해 나머지 합 문제에 대한 접근 방법을 이해하고, 효율적인 코딩 기법을 배웠습니다. 이러한 기법은 대규모 데이터 처리가 필요한 다양한 상황에서 활용할 수 있으며, 여러분의 알고리즘 문제 해결 능력을 크게 향상시킬 것입니다.
추가적으로 이와 유사한 문제에 대한 풀이를 시도해보며 경험을 쌓아보시기 바랍니다. 다음 강좌에서는 또 다른 흥미로운 주제를 가지고 찾아뵙겠습니다. 감사합니다!