파이썬 코딩테스트 강좌, 연속된 자연수의 합 구하기

문제 설명

연속된 자연수의 합을 구하는 문제는 주어진 정수 N에 대하여 연속된 자연수 k, k+1, k+2, ..., k+m의 합이 N이 되는 경우의 수를 찾는 문제입니다. 여기서 k는 자연수이며, m은 0 이상의 정수입니다.

예를 들어, N = 15인 경우는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
• 4 + 5 + 6 = 15
• 7 + 8 = 15
• 15 = 15 (연속된 수가 아닌 경우)

따라서 N = 15인 경우 총 3개의 경우가 존재합니다.

문제 풀이 과정

이 문제를 해결하기 위해서는 다음과 같은 과정이 필요합니다:

1. 연속된 자연수의 합의 일반적인 식을 이해합니다.
2. k부터 시작하여 N에 도달하기 위해 m을 조정하면서 결과를 체크합니다.
3. 모든 가능한 k 값을 시도하여 조건을 충족하는 경우의 수를 센다.

1. 연속된 자연수의 합의 일반적인 식

연속된 자연수의 합은 다음과 같은 수학적 식으로 표현할 수 있습니다:

S = k + (k + 1) + (k + 2) + ... + (k + m) = (m + 1) * k + (0 + 1 + 2 + ... + m)

위의 식을 정리하면:

S = (m + 1) * k + (m * (m + 1)) / 2

우리는 이 식을 N에 맞춰 조정할 것입니다.

2. k부터 시작하여 m을 조정

이제 우리는 k의 값에 따라 N을 초과하지 않도록 m의 값을 증가시켜가며 필요한 조건을 찾아야 합니다. 이 과정을 반복하여 S = N이 되는 경우를 찾아냅니다.

3. 모든 가능한 k 값 시도

이 과정에서는 여러 비효율적인 경우를 피하도록 k의 최대값은 N의 제곱근 정도가 적절할 것입니다. 이를 통해 알고리즘의 복잡도를 줄일 수 있습니다.

코드 구현

아래는 위의 알고리즘을 바탕으로 한 파이썬 코드 예제입니다:

def count_consecutive_sum(N):
    count = 0
    # k 값의 범위 설정
    for k in range(1, N // 2 + 2):
        total = 0
        m = 0
        while total < N:
            total += k + m
            m += 1
        if total == N:
            count += 1
    return count

# 테스트
print(count_consecutive_sum(15))  # 출력: 3

코드 설명

위 코드는 주어진 정수 N에 대해 연속된 자연수의 합으로 나타내는 경우의 수를 반환합니다. k의 값을 1부터 시작해 N/2 + 2까지 반복하며, 내부에서 m 값을 증가시키며 총합을 계산합니다. 만약 총합이 N과 match 된다면 카운트를 증가시킵니다.

시간 복잡도 분석

위의 코드에서 외부 루프는 O(N)의 시간 복잡도를 가지며, 내부 루프는 매 k에 대해 약 O(N)번 반복됩니다. 따라서 전체 알고리즘의 시간 복잡도는 최악의 경우 O(N^2)가 될 수 있습니다. 그러나 k의 범위를 줄여 주면 실질적으로는 더 효율적인 실행이 가능합니다.

최적화

최적화가 가능하는 지점은 k의 최대값을 N의 제곱근으로 제한함으로써 더욱 효율적인 성능을 얻을 수 있습니다. 다음과 같이 코드를 변경할 수 있습니다:

def count_consecutive_sum_optimized(N):
    count = 0
    k = 1
    while k * (k + 1) // 2 < N:  # k의 값이 N보다 작을 때까지
        # 연속된 수의 합 계산
        total = N - (k * (k - 1) // 2)
        if total > 0 and total % k == 0:
            count += 1
        k += 1
    return count

# 테스트
print(count_consecutive_sum_optimized(15))  # 출력: 3

최적화된 코드 설명

위의 최적화된 코드는 N의 제곱근을 k의 최대값으로 설정함으로써 성능이 개선되었습니다. 또한, 반복문 내에서 total 계산을 통해 조건을 판별하였습니다. 이론적으로 이 코드는 시간 복잡도 O(sqrt(N))에 가깝게 동작하게 됩니다.