안녕하세요. 이번 블로그 글에서는 알고리즘 시험과 실제 취업 과정에서 빈번히 등장하는 유클리드 호제법에 대해 자세히 알아보고, 이를 활용한 코딩 문제를 풀어보도록 하겠습니다.
1. 유클리드 호제법이란?
유클리드 호제법(Euclidean algorithm)은 두 정수의 최대공약수(GCD, Greatest Common Divisor)를 구하는 효율적인 방법으로, 고대 그리스의 수학자 유클리드가 처음으로 제안했습니다. 이 방법은 두 수의 나눗셈을 반복하면서 최대공약수를 찾는 방식으로 작동합니다.
유클리드 호제법의 원리
주어진 두 수 a, b (a > b)에 대해, GCD(a, b)는 GCD(b, a % b)와 같습니다. 이 과정을 b가 0이 될 때까지 반복하게 되며, 최종적으로 a가 최대공약수입니다.
예제
예를 들어, 48과 18의 최대공약수를 구해보겠습니다.
- GCD(48, 18) → GCD(18, 48 % 18) → GCD(18, 12)
- GCD(18, 12) → GCD(12, 18 % 12) → GCD(12, 6)
- GCD(12, 6) → GCD(6, 12 % 6) → GCD(6, 0)
- GCD(6, 0) = 6
2. 문제 정의
이제 유클리드 호제법을 바탕으로 한 알고리즘 문제를 정의해보겠습니다.
문제: 두 개의 정수를 입력받아 최대공약수를 출력하는 프로그램을 작성하시오.
입력: 두 개의 정수 A와 B (0 < A, B < 10^9)
출력: A와 B의 최대공약수 GCD(A, B)
3. 문제 풀이 과정
위 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 일련의 과정을 거칠 것입니다.
3.1 문제 분석
우선 입력으로 두 개의 정수가 주어집니다. 이 두 수의 최대공약수를 찾는 것이 목표입니다. 주의할 점은 입력으로 주어지는 수의 범위가 상당히 크기 때문에, 알고리즘은 효율적이어야 합니다. 유클리드 호제법은 O(log(min(A, B)))의 시간복잡도를 가지므로 적합한 방법입니다.
3.2 알고리즘 설계
유클리드 호제법의 기본 재귀적 접근 방식을 사용하여 최대공약수를 구하도록 하겠습니다. 아래는 알고리즘의 주요 절차입니다.
- 함수를 정의하여 두 개의 정수를 인자로 받습니다.
- 두 수 중 큰 수와 작은 수를 비교하여, 큰 수를 작은 수로 나눈 나머지를 구합니다.
- 이때, 나머지가 0이 될 때까지 이 과정을 반복합니다.
- 나머지가 0이 되면, 그 때의 작은 수가 최대공약수입니다.
3.3 파이썬 코드 구현
def gcd(a, b):
while b != 0:
a, b = b, a % b
return a
# 입력 처리
A, B = map(int, input("두 정수 A와 B를 입력하세요: ").split())
print("최대공약수는:", gcd(A, B))
위의 코드는 기본적인 유클리드 호제법을 사용하여 최대공약수를 계산합니다. 사용자가 입력한 두 수 A와 B를 받아, gcd 함수를 호출하여 결과를 출력합니다.
4. 복잡도 분석
유클리드 호제법의 시간복잡도는 O(log(min(A, B)))입니다. 이는 각 단계에서 두 수가 반으로 줄어들기 때문입니다. 이 알고리즘은 매우 효율적이며, 특히 큰 수에 대해서도 빠르게 동작합니다.
5. 다양한 변형 및 응용
유클리드 호제법은 단순히 최대공약수를 찾는 데에 그치지 않고, 다른 여러 문제를 해결하는 데에도 응용될 수 있습니다. 예를 들어:
- 분수의 약분: 두 개의 정수를 인자로 받아 그 최대공약수로 분자를 나누고, 분모를 나누어 완전한 분수를 표현할 수 있습니다.
- 최소공배수: 두 숫자의 곱을 최대공약수로 나누면 최소공배수를 계산할 수 있습니다.
6. 결론
이번 글에서는 유클리드 호제법에 대해 자세히 알아보았습니다. 알고리즘 시험에서 자주 등장하는 최대공약수를 구하는 문제를 통해, 이론과 실제 코드를 함께 공부할 수 있었던 좋은 기회였습니다. 여러분도 유클리드 호제법을 활용해 다양한 문제를 풀어보시기 바랍니다. Happy Coding!
이제, 더 많은 파이썬 관련 알고리즘 문제와 해결책에 대해 지속적으로 학습해보세요. 알고리즘을 마스터하는 것은 취업 준비의 중요한 요소이며, 여러 문제를 경험하는 것이 도움이 됩니다.