작성자: 조광형 | 날짜: 2024년 11월 26일
1. 이항계수란?
이항계수는 조합론에서 두 개의 정수 n,k에 대해 정의됩니다. n개 중에서 k개를 선택하는
방법의 수를 나타내며, 표기법은 C(n, k) 또는 (n choose k)입니다. 이항계수는
다음과 같이 계산됩니다:
- C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
여기서 n!은 n의 팩토리얼로, n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 1입니다.
이항계수는 조합 문제를 해결할 때 매우 유용하게 사용됩니다.
2. 문제 설명
문제: 주어진 n과 k에 대해 이항계수 C(n, k)를 계산하는 함수를 작성하시오.
n은 0부터 30까지의 정수이고, k는 0부터 n까지의 정수이다.
3. 문제 해결 접근법
이 문제는 이항계수를 계산하기 위한 여러 가지 방법이 있습니다.
우리는 재귀, 동적 프로그래밍, 또는 수학 공식을 이용한 방법 등을 사용하여 해결할 수 있습니다.
여기에서는 동적 프로그래밍(Dynamic Programming) 방식을 사용하여 문제를 해결할 것입니다.
3.1 동적 프로그래밍(Dynamic Programming)
동적 프로그래밍은 문제를 작은 하위 문제로 나누고, 이 하위 문제의 결과를
저장하여 이후 문제에 재사용하는 방식입니다. 이항계수는 다음의 점화식을
활용하여 계산할 수 있습니다:
- C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)
- 기본 경우: C(n, 0) = C(n, n) = 1
위의 점화식에서 각각의 경우에 대해 이항계수를 재귀적으로 구할 수 있지만
중복 계산이 발생하게 됩니다. 이를 피하기 위해 DP 테이블을 사용하여 강의를
진행하겠습니다.
4. 구현
이제 이항계수를 계산하기 위한 파이썬 함수의 코드를 작성해보겠습니다.
DP 테이블을 사용하여 이항계수를 구하는 방식을 구현할 것입니다.
def binomial_coefficient(n, k):
# DP 테이블 초기화
dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
# 기본 경우 설정
for i in range(n + 1):
dp[i][0] = 1 # C(i, 0) = 1
dp[i][i] = 1 # C(i, i) = 1
# 점화식에 따라 DP 테이블을 채움
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, min(i, k) + 1):
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1]
return dp[n][k]
위의 코드에서, 주어진 n과 k에 대해 DP 테이블을 초기화하고 기본 경우를 설정한 뒤
점화식을 통해 DP 테이블을 채워나갑니다.
결과적으로 dp[n][k]에 이항계수가 저장됩니다.
5. 테스트
위에서 구현한 함수를 테스트해볼 차례입니다. C(5, 2)와 같은 간단한 예제를 사용하여
함수의 정확성을 검증해보겠습니다.
# 테스트
print(binomial_coefficient(5, 2)) # 출력: 10
print(binomial_coefficient(30, 15)) # 출력: 155117520
이와 같이 함수를 호출하여 이항계수를 계산하고 그 결과를 출력할 수 있습니다.
위의 입력값에 대한 결과가 맞는지를 확인해보세요.
6. 결론
이번 강좌를 통해 이항계수의 정의와 계산 방법에 대해 알아보았습니다.
동적 프로그래밍을 통해 효율적으로 이항계수를 계산할 수 있는 방법을 배웠습니다.
파이썬을 사용하여 구현하는 과정 또한 자세히 살펴보았습니다.
이 알고리즘은 실제 코딩 테스트 및 알고리즘 문제 해결에서 자주 사용되므로,
잘 익혀두시기 바랍니다.
추가적으로, 이항계수와 관련된 고급 문제들을 풀어보며 실력을 더욱 단련해보세요.
감사합니다.