이 블로그 포스트에서는 Python을 사용하여 이항계수를 구하는 방법에 대해 자세히 알아보겠습니다.
이항계수는 조합론에서 중요한 개념으로, 주어진 n개의 원소 중에서 r개의 원소를 선택하는 방법의 개수를 의미합니다.
이항계수는 다음과 같은 수식으로 정의됩니다.
이항계수의 정의
이항계수 C(n, r)는 다음과 같이 정의됩니다:
C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)
여기에서 n!은 n의 팩토리얼을 의미하며, n부터 1까지의 모든 자연수의 곱입니다.
예를 들어, 5!는 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120입니다. 이항계수는 조합의 수를 계산하는 데 매우 유용합니다.
문제 설명
주어진 정수 n과 r에 대해 이항계수 C(n, r)를 계산하는 함수를 작성하세요.
n은 0 이상, r은 0 이상 n 이하의 정수로 주어집니다.
입력 형식
첫 번째 줄에 두 개의 정수 n과 r이 공백으로 구분되어 주어집니다.
출력 형식
이항계수 C(n, r)을 출력합니다.
예제 입력/출력
입력:
5 2
출력:
10문제 해결 방법
이 문제를 해결하기 위한 여러 가지 접근 방법이 있습니다. 가장 직관적인 방법은 수학적 정의를 이용하여 팩토리얼을 직접 계산하는 것입니다.
그러나 팩토리얼을 직접 계산하는 방법은 큰 n에 대해 비효율적일 수 있습니다.
따라서 이 문제를 더 효율적으로 해결하기 위해 다이나믹 프로그래밍(DP) 접근 방식을 사용해 보겠습니다.
다이나믹 프로그래밍을 이용한 이항계수 계산
이항계수의 성질 중 하나는 다음과 같습니다:
C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)
위의 식을 사용하면 C(n, r)을 이전의 이항계수로 분해할 수 있습니다.
이 방식은 아래와 같은 DP 테이블 형태로 구현할 수 있습니다.
DP 테이블 생성 방법
dp[i][j]를 C(i, j)로 정의합니다. 다음과 같은 규칙을 적용하여 모든 이항계수를 구할 수 있습니다:
dp[i][0] = 1(모든i에 대해)dp[i][i] = 1(모든i에 대해)- 그 외
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j](0 < j < i)
파이썬 구현
아래는 이항계수를 계산하는 파이썬 코드입니다:
def binomial_coefficient(n, r):
# 2D DP 테이블 초기화
dp = [[0] * (r + 1) for _ in range(n + 1)]
# DP 테이블 채우기
for i in range(n + 1):
for j in range(min(i, r) + 1):
if j == 0 or j == i:
dp[i][j] = 1
else:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]
return dp[n][r]
# 예시 호출
n, r = map(int, input().split())
print(binomial_coefficient(n, r))시간 복잡도 분석
위의 알고리즘은 O(n * r)의 시간 복잡도를 가지고 있습니다.
중첩된 두 개의 for 루프가 있기 때문에, 최악의 경우에는 모든 n과 r의 값을 다루게 됩니다.
그러나 작은 범위의 n과 r에 대해서는 매우 빠르게 동작할 수 있습니다.
이 알고리즘은 이항계수를 효과적으로 계산할 수 있는 좋은 방법입니다.
결론
이 포스트에서는 이항계수 C(n, r)를 구하는 다양한 방법을 알아보았습니다.
전통적인 팩토리얼을 이용한 방법에서부터 다이나믹 프로그래밍을 활용한 방법까지,
각 접근 방식의 장단점을 살펴보았습니다.
코딩 테스트에서 이항계수 문제는 매우 흔하게 등장하는 문제 유형이므로,
본 내용을 잘 숙지하시기 바랍니다.