작성자: 조광형
작성일: 2024년 11월 26일
문제 설명
코딩 테스트에서 행렬의 곱셈은 빈번하게 등장하는 문제 중 하나입니다. 특히, 주어진 행렬들을 효율적으로 곱하는 방법을 묻는 문제는 최적의 알고리즘 설계를 통해 연산 횟수를 최소화할 수 있는 귀중한 기술을 필요로 합니다. 이번 강좌에서는 주어진 행렬의 곱 연산의 최솟값을 구하는 문제를 다루겠습니다.
문제는 다음과 같습니다:
주어진 n개의 행렬의 크기 리스트
p가 주어질 때, 행렬을 곱셈하여 최종 행렬을 만드는 과정에서 필요한 곱셈 연산의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오. 행렬 A의 크기가p[i-1] x p[i]일 때, A와 B의 곱셈으로 만들어지는 행렬 C의 크기는p[i-1] x p[j]가 되며, 이때 연산 횟수는p[i-1] * p[i] * p[j]로 계산된다.
예를 들어, 행렬의 크기 리스트가 [10, 20, 30, 40]인 경우, 가능한 행렬 곱셈 순서에 따라 연산 횟수는 다르게 발생합니다. 이때 필요한 연산의 최소 횟수를 구해야 합니다.
문제 접근 방법
행렬의 곱셈에서 최소 연산 횟수를 구하기 위해서는 동적 계획법(Dynamic Programming) 기법을 사용할 수 있습니다. 이 기법은 복잡한 문제를 더 작은 하위 문제로 나누어 해결합니다.
우리의 기본 아이디어는 다음과 같습니다:
- 행렬의 곱셈에서 연산 횟수를 최적화하기 위해서는 두 개의 행렬을 언제 곱할지를 결정해야 합니다.
- 각 구간에 대해 최소 연산 횟수를 저장하는 테이블을 만들고, 이를 사용하여 부분 문제를 해결합니다.
- 최종적으로 모든 행렬을 곱할 때의 최소 연산 횟수를 구할 수 있습니다.
구현 과정
먼저, 입력으로 주어진 행렬 크기 리스트 p를 사용하여 동적 계획법 배열 m을 초기화합니다. 여기서 m[i][j]는 i번째 행렬부터 j번째 행렬까지 곱할 때의 최소 곱셈 횟수를 의미합니다.
1. 테이블 초기화
n = len(p) - 1
m = [[0] * n for _ in range(n)]
2. 부분 문제 해결
2개의 행렬을 곱할 때의 곱셈 횟수는 단순히 두 행렬의 크기 곱 이어야 합니다. 이를 기반으로 테이블을 업데이트합니다.
for length in range(2, n + 1): # 길이를 2부터 n까지 설정
for i in range(n - length + 1):
j = i + length - 1 # j는 i에서 length만큼 떨어진 인덱스
m[i][j] = float('inf') # 현재 m[i][j]를 무한대로 초기화
for k in range(i, j):
cost = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i] * p[k+1] * p[j+1]
if cost < m[i][j]:
m[i][j] = cost # 최소값 업데이트
3. 결과 출력
위의 과정을 통해 완전히 채워진 달력에서 최종적으로 m[0][n-1] 값이 전체 행렬을 곱할 때의 최소 연산 횟수가 됩니다.
print("최소 연산 횟수:", m[0][n-1])
예제 코드
전체 코드는 다음과 같습니다:
def matrix_chain_order(p):
n = len(p) - 1
m = [[0] * n for _ in range(n)]
for length in range(2, n + 1): # length 2부터 n까지
for i in range(n - length + 1):
j = i + length - 1
m[i][j] = float('inf')
for k in range(i, j):
cost = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i] * p[k+1] * p[j+1]
if cost < m[i][j]:
m[i][j] = cost
return m[0][n-1]
# 예제 입력
p = [10, 20, 30, 40]
print("최소 연산 횟수:", matrix_chain_order(p))
성능 평가
위의 코드의 시간 복잡도는 O(n^3)이며, 공간 복잡도는 O(n^2)입니다. 이 알고리즘은 n이 적을 때 매우 효율적이며, 대규모 데이터에 대해서는 보완할 방법을 찾아야 합니다. 예를 들어, 행렬 곱셈의 재배열이나 병렬 처리를 통한 최적화가 필요할 수 있습니다.
추가 고찰
알고리즘 문제 해결에 있어, 행렬 곱 연산 횟수를 최소화하는 문제는 매우 교훈적입니다. 이는 알고리즘적 사고를 발전시키고, 문제를 체계적으로 분석하는 방법을 배우기에 적합한 예제입니다. 이러한 기법들을 적용하여 실전에서의 문제 해결 능력을 키우는 것이 중요합니다.
또한, 이와 유사한 다른 문제들도 탐색해 보는 것이 좋습니다. 예를 들어, 길이가 다른 배열이나 행렬에 대해 유사한 접근을 할 수 있으며, 동적 계획법을 활용한 다양한 문제 해결 방법이 여기에 해당됩니다.