이번 강좌에서는 확장 유클리드 호제법에 대해 자세히 알아보고, 관련된 알고리즘 문제를 해결하는 과정을 살펴보겠습니다. 확장 유클리드 호제법은 정수론에서 두 정수의 최대공약수를 계산하는 알고리즘의 확장 버전으로, 두 정수의 선형 조합을 구할 수 있습니다. 이를 통해 다양한 문제를 해결할 수 있습니다.
1. 확장 유클리드 호제법의 기본 개념
유클리드 호제법은 두 정수 a와 b의 최대공약수 GCD를 구하는 알고리즘입니다. 기본적인 과정은 다음과 같습니다:
1. 두 정수 a와 b를 비교하여, b가 0이 아닐 경우 a를 b로 나눈 나머지를 구합니다.
2. a와 b의 값을 각각 b와 a % b로 갱신합니다.
3. b가 0이 되면, 이때의 a가 GCD입니다.
확장 유클리드 호제법은 여기서 한 단계 더 나아가, GCD를 구하는 과정에서 두 정수 a와 b의 선형 조합을 구해 x와 y를 찾습니다. 즉, 다음의 형태를 만족하는 x와 y를 찾습니다:
ax + by = gcd(a, b)
2. 확장 유클리드 호제법의 알고리즘
확장 유클리드 호제법의 알고리즘은 재귀적으로 구현할 수 있습니다. 기본 아이디어는 다음과 같습니다:
- 기본적으로 두 정수 a와 b에 대해 GCD를 찾는 유클리드 호제법을 재귀적으로 수행합니다.
- recursive 유도에 의해 GCD에 도달하면, x와 y의 값을 차례대로 재귀적으로 계산합니다.
3. 파이썬 구현
다음은 확장 유클리드 호제법을 구현한 파이썬 코드입니다:
def extended_gcd(a, b):
if b == 0:
return a, 1, 0 # gcd, x, y
gcd, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b)
x = y1
y = x1 - (a // b) * y1
return gcd, x, y
# 예제 실행
a = 30
b = 20
gcd, x, y = extended_gcd(a, b)
print(f"GCD: {gcd}, x: {x}, y: {y}") # GCD: 10, x: -1, y: 2
4. 알고리즘 문제
이제 위의 확장 유클리드 호제법을 활용한 문제를 하나 풀어보겠습니다.
문제: 주어진 두 정수 a와 b에 대해, GCD와 함께 x, y를 구하라.
예를 들어, a = 56, b = 98인 경우:
- GCD(56, 98) = 14
- 56x + 98y = 14의 해를 구해야 합니다.
5. 문제 풀이 과정
위의 문제를 해결하기 위해 확장 유클리드 호제법의 코드를 사용하여 x와 y를 구하는 방법을 알아보겠습니다. 먼저 주어진 두 정수 a와 b를 입력받고, 해당 함수를 호출하여 결과를 확인하겠습니다.
# 주어진 두 정수
a = 56
b = 98
# 확장 유클리드 호제법 실행
gcd, x, y = extended_gcd(a, b)
print(f"GCD: {gcd}, x: {x}, y: {y}")
이 코드를 실행하면, 주어진 두 정수 56과 98에 대해 GCD와 함께 x와 y의 값을 반환 받을 수 있습니다. 이때의 출력 예시는 다음과 같습니다:
GCD: 14, x: 1, y: -1
결과적으로, 56과 98의 GCD는 14이며, 56에 1을 곱하고 98에 -1을 곱한 값으로 GCD를 표현할 수 있는 것을 확인할 수 있습니다.
6. 확장 유클리드 호제법의 응용
확장 유클리드 호제법은 단순히 GCD를 구하는 것 외에도 다양한 분야에 응용될 수 있습니다.
- 비밀번호 해독: RSA 암호화와 같은 공개키 암호 시스템에서 사용됩니다.
- 최소 공배수 계산: 두 정수의 최소 공배수(LCM)는 GCD를 이용하여 쉽게 계산할 수 있습니다.
- 디오판틴 방정식: 정수 해를 갖는 방정식을 푸는 데 유용합니다.
7. 마무리
확장 유클리드 호제법은 파이썬 코딩테스트에서 매우 유용한 알고리즘 중 하나로, 이를 활용하여 다양한 문제를 해결할 수 있습니다. 이번 강좌를 통해 확장 유클리드 호제법의 사용법 및 응용을 이해하는 데 도움이 되었기를 바랍니다.
앞으로도 다양한 알고리즘 문제를 풀어가며 코딩 테스트 준비에 도움이 되길 바랍니다. 감사합니다!