이번 강좌에서는 연속된 자연수의 합을 구하는 문제를 다루어 보겠습니다. 이 문제는 알고리즘과 수학적 사고 능력을 동시에 평가할 수 있는 좋은 문제입니다. 예를 들어, 주어진 정수 N이 있을 때, N을 연속된 자연수들의 합으로 나타낼 수 있는 경우의 수를 구하는 문제를 살펴보겠습니다.
문제 설명
주어진 정수 N이 있을 때, N을 연속된 자연수들의 합으로 표현할 수 있는 경우의 수를 구하는 함수를 작성하세요.
- 입력: 하나의 정수 N (1 ≤ N ≤ 106)
- 출력: N을 연속된 자연수들의 합으로 표현할 수 있는 경우의 수
문제 예시
입력: 15
출력: 4
설명: 15는 다음과 같이 연속된 자연수의 합으로 표현될 수 있습니다:
- 15 = 15
- 15 = 7 + 8
- 15 = 4 + 5 + 6
- 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5문제 접근 방법
이 문제를 해결하기 위해서는 연속된 자연수의 합에 대한 수학적 성질을 이해할 필요가 있습니다. 연속된 자연수의 합 S는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:
S = a + (a + 1) + (a + 2) + ... + (a + (k-1)) = k * a + (0 + 1 + 2 + ... + (k-1))
S = k * a + (k * (k - 1)) / 2여기서, a는 첫 번째 자연수, k는 연속된 자연수의 개수입니다. 위의 식을 변형하면, 다음과 같은 관계를 도출할 수 있습니다:
N = k * a + (k * (k - 1)) / 2
N - (k * (k - 1)) / 2 = k * a따라서, N – (k * (k – 1)) / 2가 k의 배수인 경우, 자연수 a를 구할 수 있습니다. 이 조건을 만족하면 N을 k개의 연속된 자연수의 합으로 나타낼 수 있습니다.
구현 전략
문제를 해결하는 구체적인 알고리즘은 다음과 같습니다:
- k는 1부터 시작하여 N 이하로 진행합니다.
- 각 k에 대해 N – (k * (k – 1)) / 2를 계산합니다.
- 계산된 값이 k의 배수인지 확인합니다.
- 배수라면 경우의 수를 증가시킵니다.
C++ 코드 구현
이제 위 알고리즘을 C++ 코드로 구현해 보겠습니다.
#include <iostream>
using namespace std;
int countConsecutiveSum(int N) {
int count = 0;
for (int k = 1; k * (k - 1) / 2 < N; ++k) {
int tmp = N - (k * (k - 1) / 2);
if (tmp % k == 0) {
count++;
}
}
return count;
}
int main() {
int N;
cout << "N을 입력하세요: ";
cin >> N;
int result = countConsecutiveSum(N);
cout << "연속된 자연수의 합으로 표현할 수 있는 경우의 수: " << result << endl;
return 0;
}실행 예시
N을 입력하세요: 15
연속된 자연수의 합으로 표현할 수 있는 경우의 수: 4시간 복잡도 분석
이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(√N)입니다. 이는 k의 최대값이 N보다 작기 때문에 k에 대한 반복문이 N보다 빨리 종료될 수 있기 때문입니다. 이 정도의 시간 복잡도는 주어진 문제의 입력 범위 내에서도 충분히 효율적이라고 할 수 있습니다.
결론
이번 강좌에서는 연속된 자연수의 합을 구하는 문제를 통해 알고리즘 설계의 기본 개념과 C++ 구현 방법에 대해 알아보았습니다. 이와 같은 문제를 통해 알고리즘을 학습하고 실제 코딩 테스트에서 활용할 수 있는 지식을 쌓아 나가길 바랍니다.