C++ 코딩테스트 강좌, 이항계수 구하기 1

안녕하세요! 이번 포스팅에서는 C++ 코딩 테스트에서 자주 등장하는 알고리즘 문제인 “이항계수 구하기”에 대해 다뤄보겠습니다. 이 문제는 조합(combination)과 관련이 깊으며, 수학적 기초와 코딩 능력을 동시에 요구하는 유형입니다. 또한, 다양한 해법과 그 알고리즘에 대한 이해는 취업 시험을 준비하는 데 큰 도움이 될 것입니다.

문제 정의

우리가 구할 이항계수는 주어진 정수 n과 k에 대해 다음 수식을 통해 정의됩니다:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

여기서 n!은 n의 팩토리얼을 의미합니다. 문제는 n과 k가 주어졌을 때 이항계수 C(n, k)를 계산하는 것입니다. 예를 들어, n=5이고 k=2라면, C(5, 2)는 10입니다.

문제의 입력과 출력

문제의 입력은 두 개의 정수 n과 k이고, 출력은 C(n, k)의 값입니다.

입력 형식

  • 첫 줄: 두 정수 n(0 ≤ n ≤ 30)과 k(0 ≤ k ≤ n)

출력 형식

  • 한 줄에 C(n, k)의 값 출력

문제 풀이 과정

이제 문제를 풀기 위한 접근 방법을 단계별로 살펴보겠습니다. 우리는 기본적으로 세 가지 접근 방법을 사용할 수 있습니다.

1. 재귀적 접근 (Recursive Approach)

이항계수는 재귀적으로 정의될 수 있습니다. 즉, 다음의 점화식을 사용할 수 있습니다:

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

기저 사례로는 C(n, 0) = 1 (모든 n에 대해)와 C(n, n) = 1 (모든 n에 대해)입니다. 파라미터 n과 k가 주어질 때, 이 점화식을 사용하여 재귀적으로 이항계수를 계산할 수 있습니다. 하지만 이 접근은 중복 계산이 많아서 효율적이지 않습니다.

재귀적 구현 예시


#include 
using namespace std;

// Recursive function to find the binomial coefficient C(n, k)
int binomialCoefficient(int n, int k) {
    // Base cases
    if (k == 0 || k == n) return 1;
    // Recursive call
    return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
}

int main() {
    int n, k;
    cout << "Enter n and k: ";
    cin >> n >> k;
    cout << "C(" << n << ", " << k << ") = " << binomialCoefficient(n, k) << endl;
    return 0;
}

2. 동적 프로그래밍 (Dynamic Programming)

재귀적 접근은 시간 복잡도가 O(2^n)으로 비효율적입니다. 이를 개선하기 위해 동적 프로그래밍을 사용할 수 있습니다. 이 방식은 중복 계산을 피하고, 메모이제이션 또는 타뷸레이션 기법을 통해 이미 계산한 값을 저장하여 효율성을 높입니다.

동적 프로그래밍 구현 예시


#include <iostream>
using namespace std;

// Function to calculate binomial coefficient using DP
int binomialCoefficientDP(int n, int k) {
    int C[n + 1][k + 1];

    // Calculate the binomial coefficient using a bottom-up approach
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= min(i, k); j++) {
            if (j == 0 || j == i)
                C[i][j] = 1;
            else
                C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
        }
    }
    return C[n][k];
}

int main() {
    int n, k;
    cout << "Enter n and k: ";
    cin >> n >> k;
    cout << "C(" << n << ", " << k << ") = " << binomialCoefficientDP(n, k) << endl;
    return 0;
}

3. 팩토리얼을 이용한 계산 (Factorial Method)

마지막 방법으로는 팩토리얼을 직접 계산하여 이항계를 구하는 방법입니다. 이 방식은 수학적 공식을 직접 구현하여 C(n, k)를 계산하는 것입니다.

팩토리얼을 이용한 구현 예시


#include <iostream>
using namespace std;

// Function to return the factorial of a number
int factorial(int n) {
    if (n == 0) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}

// Function to calculate the binomial coefficient
int binomialCoefficientFactorial(int n, int k) {
    return factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n - k));
}

int main() {
    int n, k;
    cout << "Enter n and k: ";
    cin >> n >> k;
    cout << "C(" << n << ", " << k << ") = " << binomialCoefficientFactorial(n, k) << endl;
    return 0;
}

비교와 최적화

세 가지 방법의 시간 복잡도는 다음과 같습니다:

  • 재귀적 접근: O(2^n)
  • 동적 프로그래밍: O(n * k)
  • 팩토리얼 계산: O(n)

따라서, n과 k의 크기가 작을 경우 팩토리얼 사용이 간편하고 빠르지만, n과 k가 커질 수록 동적 프로그래밍 방식이 더 효율적입니다. 팩토리얼 방식은 n이 큰 경우 오버플로우가 발생할 수 있는 점을 유념해야 합니다.

결론

이번 포스팅에서는 이항계수 구하기 문제에 대해 알아보았습니다. 다양한 방법을 통해 이 문제를 해결할 수 있으며, 각각의 방법의 장단점을 고려하여 적절한 방식을 선택하는 것이 중요합니다. 알고리즘의 이해는 코딩 테스트뿐만 아니라 실제 개발에서도 큰 도움이 됩니다.

다음 포스팅에서는 이항계수를 활용한 더 복잡한 문제를 다룰 예정이니 기대해 주세요!

요약하자면, 이항계수 문제는 수학과 알고리즘의 접목이 좋은 사례로, 취업 준비 뿐만 아니라 알고리즘 공부에도 여전히 중요한 주제입니다. 여러분도 다양한 문제를 풀어보며 경험치를 쌓아 가시길 바랍니다.

읽어 주셔서 감사합니다!