스위프트 코딩테스트 강좌, 행렬 곱 연산 횟수의 최솟값 구하기

이번 강좌에서는 스위프트를 사용하여 행렬 곱 연산 횟수의 최솟값을 구하는 알고리즘 문제를 해결할 것입니다. 이 문제는 동적 프로그래밍(Dynamic Programming) 기술을 사용하는 좋은 예시로, 실질적인 코딩 테스트에서 자주 등장할 수 있는 문제 유형 중 하나입니다.

문제 설명

주어진 행렬들을 차례로 곱하기 위해 필요한 곱셈 연산의 최소 횟수를 계산하는 문제입니다. 행렬의 크기는 해당 행렬의 곱 연산에서 영향을 미치기 때문에, 최적의 곱셈 순서를 찾아야 합니다.

문제 명세

   입력: 정수 배열 arr (크기 n+1)
   각 arr[i]는 i번째 행렬의 행 수와 열 수를 나타냅니다. 
   (즉, 행렬 A는 arr[i-1] * arr[i] 크기를 가짐. 이 경우, arr[0]는 첫 번째 행렬의 행 수, arr[n]는 마지막 행렬의 열 수)

   출력: 행렬 곱셈에 필요한 최소 곱셈 연산 횟수

예시

입력: arr = [10, 20, 30, 40]
출력: 3000
설명: (A1(10×20) * A2(20×30)) * A3(30×40) = 10 * 20 * 40 + (A1 * A2) * A3에서 최적의 순서로 곱셈 연산을 수행해야 최소의 연산 횟수를 달성할 수 있습니다.

문제 해결 접근법

이 문제는 동적 프로그래밍을 사용하여 해결할 수 있습니다.
알고리즘의 기초는 다음과 같습니다.

• 행렬 곱셈에서의 최적 구조를 이해한다.
• 점화식을 정의한다: dp[i][j]를 입력의 행렬 인덱스 i부터 j까지의 행렬 곱셈의 최솟값으로 정의합니다.
• 최소 연산 횟수를 위한 점화식을 구해 dp 배열을 채운다.
• 결과를 반환한다.

점화식

행렬 A부터 B까지의 곱셈을 고려하고, K를 A와 B를 나누는 지점으로 설정하면, 아래의 식을 세울 수 있습니다:

   dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + arr[i]*arr[k+1]*arr[j+1])

이 식은 여러 부분으로 분할하여 최적의 곱셈 연산 횟수를 찾는 과정을 나타내며, k는 i와 j 사이의 모든 가능한 분할 점을 의미합니다.

구현

이제 문제를 해결하기 위한 스위프트 코드를 작성해보겠습니다.

func matrixChainOrder(arr: [Int]) -> Int {
    let n = arr.count - 1
    var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: n), count: n)

    for length in 2...n { // 행렬의 길이에 따라 반복
        for i in 0..<(n - length + 1) {
            let j = i + length - 1
            dp[i][j] = Int.max
            for k in i..<(j) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + arr[i] * arr[k + 1] * arr[j + 1])
            }
        }
    }
    
    return dp[0][n - 1]
}

// 예시 사용
let arr = [10, 20, 30, 40]
let result = matrixChainOrder(arr: arr)
print("최소 곱셈 연산 횟수: \(result)")

코드 설명

위 코드는 행렬 곱셈의 최소 연산 횟수를 계산하는 함수입니다.

• 먼저, 입력받은 행렬의 수에 따라 dp 배열을 초기화합니다.
• 다음, 이중 루프를 사용하여 가능한 모든 행렬 조합에 대해 연산 횟수를 계산합니다.
• 가장 작은 값을 찾기 위해 세 번째 루프에서 가능한 분할 지점을 탐색합니다.
• 최종적으로 dp[0][n - 1]를 반환하여 모든 행렬 곱셈의 최솟값을 출력합니다.

복잡도 분석

이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n^3)입니다. 이는 행렬 개수에 비례하여 연산 횟수가 증가함을 의미합니다. 공간 복잡도는 O(n^2)로 점화식에 따라 dp 배열이 사용되므로 증가합니다.

결론

본 강좌에서는 행렬 곱 연산 횟수의 최솟값을 구하는 문제에 대해 설명하였습니다. 동적 프로그래밍 기법을 활용하여 최적의 해를 구하고, 스위프트로 이를 구현하는 방법을 배웠습니다. 이 알고리즘은 복잡한 문제를 효과적으로 해결하는 데 매우 유용하며, 향후 코딩 테스트에서도 자주 출제되는 주제입니다.

이 문제를 통해 더욱 다양한 알고리즘과 결정적 문제 해결 방법을 연구하시기 바라며, 각자의 코딩 실력을 한층 더 발전시키시길 바랍니다.