안녕하세요! 오늘은 수학적 알고리즘의 하나인 확장 유클리드 호제법에 대해 알아보겠습니다. 알고리즘 시험 준비를 위한 이 강좌는, 알고리즘적 사고를 바탕으로 문제 풀이 방법을 자세히 설명하며, 스위프트로 구현 가능합니다.
1. 유클리드 호제법이란?
유클리드 호제법은 두 숫자 \(a\)와 \(b\)의 최대공약수(GCD)를 구하는 고전적인 알고리즘입니다. 이 과정은 다음과 같습니다:
GCD(a, b) = GCD(b, a % b)이 식은 \(b\)가 0이 될 때까지 계속해서 반복되며, \(GCD(a, 0) = a\)가 성립합니다. 즉, 최종적으로 첫 번째 인자에 남아있는 값이 두 수의 GCD입니다.
2. 확장 유클리드 호제법이란?
확장 유클리드 호제법은 유클리드 호제법을 기반으로 하여, 두 정수 \(a\)와 \(b\)에 대해 다음의 식을 찾습니다:
ax + by = gcd(a, b)여기서 \(x\)와 \(y\)는 정수이며, 이는 일반적으로 베주 정리(Bézout’s identity)로 알려져 있습니다. 이 알고리즘을 사용하면 주어진 두 숫자에 대한 GCD뿐만 아니라, GCD에 대한 계수도 찾을 수 있습니다.
3. 문제 설명
이제 확장 유클리드 호제법을 활용하여 해결할 수 있는 문제를 살펴보겠습니다:
문제: 주어진 두 정수 a와 b에 대해, ax + by = gcd(a, b) 를 만족하는 x와 y를 찾으시오.
입력 형식
- 두 정수 \(a\)와 \(b\)가 주어진다. (1 ≤ a, b ≤ 1,000,000)
출력 형식
- GCD(a, b), x, y를 공백으로 구분하여 출력한다.
예제 입력
30 12예제 출력
6 1 -24. 알고리즘 풀이 과정
4.1. 문제 분석
이 문제를 해결하기 위해서는 주어진 두 수의 GCD를 구하고, 그 GCD를 구하기 위한 선형 조합 계수 x와 y를 찾아야 합니다. 이를 위해 확장 유클리드 호제법을 구현해야 합니다.
4.2. 알고리즘 흐름도
- 입력으로 두 수 \(a\)와 \(b\)를 받는다.
- 유클리드 호제법을 사용하여 GCD를 구한다.
- 확장 유클리드 호제법을 이용해 선형 조합 계수 x와 y를 찾는다.
- 결과를 출력한다.
4.3. 스위프트 구현
이제 위 과정을 바탕으로 스위프트 코드로 구현해보겠습니다:
func extendedGCD(a: Int, b: Int) -> (gcd: Int, x: Int, y: Int) {
if b == 0 {
return (a, 1, 0)
} else {
let (gcd, x1, y1) = extendedGCD(a: b, b: a % b)
let x = y1
let y = x1 - (a / b) * y1
return (gcd, x, y)
}
}
func main() {
let input = readLine()!.split(separator: " ").map { Int($0)! }
let a = input[0]
let b = input[1]
let (gcd, x, y) = extendedGCD(a: a, b: b)
print("\(gcd) \(x) \(y)")
}
// 프로그램 시작점
main()
5. 문제 풀이 예시
위의 스위프트 코드를 사용하여 주어진 문제를 풀어보겠습니다.
입력
30 12출력
6 1 -2위의 입력에 대해, GCD는 6이며, \(30x + 12y = 6\)를 만족시키기 위한 \(x = 1\)와 \(y = -2\)라는 점에서 확인할 수 있습니다.
6. 결론
오늘은 확장 유클리드 호제법에 대해 알아보았고, 이를 통해 주어진 문제를 해결하는 방법을 배웠습니다. 이 알고리즘은 컴퓨터 과학 및 암호학에서 중요한 역할을 합니다. 다양한 응용 프로그램에서 바로 효과적으로 사용할 수 있음을 상기해 주세요!
앞으로도 알고리즘 관련 다양한 강좌를 통해 여러분의 코딩 능력을 키워 나가기를 바랍니다. 질문이나 더 알고 싶은 내용이 있으시면 댓글 남겨주세요!