딥러닝 파이토치 강좌, ARIMA 모델

딥러닝과 시계열 분석은 현대 데이터 과학의 중요한 두 축입니다. 오늘은 ARIMA 모델에 대해 살펴보고, 이를 파이토치와 함께 어떻게 활용할 수 있는지를 알아보겠습니다. ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average) 모델은 방대한 양의 시계열 데이터를 분석하고 예측하는 데 유용한 통계적 방법입니다. 이는 특히 경제, 기후, 주식시장 등 다양한 분야에서 활용됩니다.

1. ARIMA 모델이란?

ARIMA 모델은 3개의 주요 구성 요소로 이루어져 있습니다. 이들 각각의 구성 요소는 시계열 데이터를 분석하고 예측하는 데 필요한 정보를 제공합니다:

  • 자기 회귀(AR, Autoregressive): 과거의 값이 현재 값에 미치는 영향을 모델링합니다. 예를 들어, 현재의 날씨는 며칠 전의 날씨와 관련이 있습니다.
  • 차분(I, Integrated): 비정상 시계열을 정상 시계열로 변환하기 위해 데이터의 차분을 사용합니다. 이는 트렌드와 계절성을 제거합니다.
  • 이동 평균(MA, Moving Average): 과거의 오차를 바탕으로 현재 값을 예측합니다. 오차는 예측과 실제 값의 차이를 의미합니다.

2. ARIMA 모델의 수식

ARIMA 모델은 다음과 같은 수식으로 표현됩니다:

Y(t) = c + φ_1 * Y(t-1) + φ_2 * Y(t-2) + ... + φ_p * Y(t-p) 
         + θ_1 * ε(t-1) + θ_2 * ε(t-2) + ... + θ_q * ε(t-q) + ε(t)

여기서 Y(t)는 시계열의 현재 값, c는 상수, φ는 AR 계수, θ는 MA 계수, ε(t)는 백색잡음입니다.

3. ARIMA 모델의 단계

ARIMA 모델을 구성하는 주요 단계는 다음과 같습니다:

  1. 데이터 수집 및 전처리: 시계열 데이터를 수집하고 결측값, 이상치를 처리합니다.
  2. 데이터의 정성 검사: 데이터가 정상인지 아닌지를 검사합니다.
  3. 모델 선정: ARIMA 모델의 최적 파라미터(p, d, q)를 선정합니다. 이는 ACF(자기상관함수)와 PACF(부분자기상관함수)를 분석하여 결정됩니다.
  4. 모델 적합: 선택한 파라미터를 기반으로 모델을 적합시킵니다.
  5. 모델 진단: 잔차를 검사하고 모델의 신뢰성을 평가합니다.
  6. 예측: 모델을 통해 미래 값을 예측합니다.

4. ARIMA 모델을 파이썬으로 구현하기

이제 ARIMA 모델을 파이썬으로 구현해보겠습니다. 우리는 statsmodels 라이브러리를 사용하여 ARIMA 모델을 구성할 것입니다.

4.1 데이터 수집 및 전처리

먼저, 필요한 라이브러리를 임포트하고 데이터를 불러옵니다. 예제로 `AirPassengers` 데이터를 사용하겠습니다.

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

# 데이터 불러오기
data = pd.read_csv('AirPassengers.csv')
data['Month'] = pd.to_datetime(data['Month'])
data.set_index('Month', inplace=True)
data = data['#Passengers']

# 데이터 시각화
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data)
plt.title('AirPassengers Data')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Number of Passengers')
plt.show()

4.2 데이터 정상성 검사

데이터가 정상인지 확인하기 위해 ADF(Augmented Dickey-Fuller) 검정을 수행합니다.

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

result = adfuller(data)
if result[1] <= 0.05:
    print("데이터는 정상입니다.")
else:
    print("데이터는 비정상입니다.")
    # 차분을 통해 정상화
    data_diff = data.diff().dropna()
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    plt.plot(data_diff)
    plt.title('Differenced Data')
    plt.xlabel('Date')
    plt.ylabel('Differenced Passengers')
    plt.show()
    result_diff = adfuller(data_diff)
    if result_diff[1] <= 0.05:
        print("차분 후 데이터는 정상입니다.")
    else:
        print("차분 후 데이터는 여전히 비정상입니다.")

4.3 ARIMA 모델의 파라미터 선정

ACF와 PACF 플롯을 사용하여 p, d, q 파라미터를 선정합니다.

plot_acf(data_diff)
plot_pacf(data_diff)
plt.show()

상관 함수의 패턴을 분석하여 AR 및 MA의 차수를 결정합니다. 예를 들어, p=2, d=1, q=2로 선정했다고 가정하겠습니다.

4.4 ARIMA 모델 적합

model = ARIMA(data, order=(2, 1, 2))
model_fit = model.fit()
print(model_fit.summary())

4.5 모델 진단

잔차 분석을 통해 모델의 적합성을 확인합니다.

residuals = model_fit.resid
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(211)
plt.plot(residuals)
plt.title('Residuals')
plt.subplot(212)
plt.hist(residuals, bins=20)
plt.title('Residuals Histogram')
plt.show()

4.6 예측

적합된 모델로 미래 값을 예측합니다.

forecast = model_fit.forecast(steps=12)
forecast_index = pd.date_range(start='1961-01-01', periods=12, freq='M')
forecast_series = pd.Series(forecast, index=forecast_index)

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data, label='Historical Data')
plt.plot(forecast_series, label='Forecast', color='red')
plt.title('Passenger Forecast')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Number of Passengers')
plt.legend()
plt.show()

5. ARIMA 모델의 한계 및 결론

ARIMA 모델은 시계열 데이터의 패턴을 잘 포착합니다. 그러나 몇 가지 한계가 있습니다.:

  • 선형성 가정: ARIMA 모델은 데이터가 선형적이라는 가정을 기반으로 하기 때문에 비선형 관계를 잘 포착하지 못할 수 있습니다.
  • 시계열 데이터의 계절성: ARIMA 모델은 계절성이 있는 데이터에 적합하지 않습니다. 이 경우 SARIMA(Seasonal ARIMA) 모델이 사용됩니다.
  • 매개변수 선택: 최적의 매개변수를 선택하는 일은 종종 어려운 작업입니다.

딥러닝과 ARIMA 모델은 서로 보완적인 부분이 많습니다. 여러 데이터를 분석할 때 딥러닝 모델을 활용하여 비선형적인 패턴을 포착하고,ARIMA 모델을 통해 데이터의 기본적인 트렌드를 이해할 수 있습니다.

6. 참고 자료