32.카이제곱 검정(Chi-Square Test), 카이제곱 분포와 자유도 개념

카이제곱 검정(Chi-Square Test)은 주로 두 가지 상황에서 통계적 유의성을 평가하기 위해 사용됩니다. 첫 번째는 범주형 변수가 서로 독립적인지를 판단하는 독립성 검정이며, 두 번째는 관찰된 분포와 기대되는 분포 간의 차이를 평가하는 적합도 검정입니다. 이 검정은 사회과학, 생물학, 의학, 경제학, 마케팅 등 다양한 분야에서 널리 사용됩니다. 본 강좌에서는 카이제곱 검정의 개념, 계산 방법, 예제 및 해석 방법에 대해 자세히 알아보겠습니다.

1. 카이제곱 분포(Chi-Square Distribution)

카이제곱 분포는 주어진 수의 독립적인 표준 정규 분포에서 나온 제곱값들의 합으로 정의됩니다. 이 분포는 주로 카이제곱 검정에서 활용되며, 자주 사용되는 두 가지 중요 파라미터는 자유도(degrees of freedom)와 분포의 모양입니다. 자유도는 제곱이 이루어지는 변수가 몇 개인지를 나타내며, 일반적으로 표본 크기나 범주 수와 관련이 있습니다.

2. 자유도(degrees of freedom)의 개념

자유도는 통계적 추론에서 매우 중요한 개념입니다. 카이제곱 검정에서는 최대 몇 개의 데이터 포인트가 자유롭게 변할 수 있는지를 나타냅니다. 예를 들어, 어떤 표본에서 k개의 카테고리 결과가 있을 때, 자유도는 (k – 1)로 계산됩니다. 이는 모든 카테고리의 합이 고정되어 있기 때문에 하나의 카테고리 결과는 다른 결과들에 의해 결정된다는 사실에서 출발합니다.

2.1. 다양한 자유도의 예제

독립성 검정: 두 개의 범주형 변수(A와 B)가 독립적인지를 검정할 때, 자유도는 (행의 수 – 1) × (열의 수 – 1)로 계산됩니다.
적합도 검정: 관찰된 빈도와 기대 빈도 간의 차이를 검정할 때, 자유도는 (범주의 수 – 1)로 계산됩니다.

3. 카이제곱 검정의 유형

3.1. 독립성 검정

독립성 검정은 두 개의 범주형 변수 간의 관계를 평가합니다. 예를 들어, 특정 제품의 선호도와 소비자의 성별 간의 관계를 분석하고자 할 때 이 검정을 사용할 수 있습니다. 검정의 절차는 다음과 같습니다:

대립가설(H1): 두 변수는 독립적이지 않다.
귀무가설(H0): 두 변수는 독립적이다.
입력 데이터를 바탕으로 카이제곱 통계량을 계산한다.
자유도를 고려하여 카이제곱 분포를 통해 유의수준을 평가한다.

3.2. 적합도 검정

적합도 검정은 관찰된 데이터가 기대한 분포와 얼마나 잘 맞는지를 평가합니다. 예를 들어, 동전을 던졌을 때 홑면과 짝면의 비율이 각각 50%인지 검정할 수 있습니다. 검정의 절차는 다음과 같습니다:

대립가설(H1): 관찰된 데이터는 기대 분포와 다르다.
귀무가설(H0): 관찰된 데이터는 기대 분포와 같다.
관찰된 빈도와 기대 빈도를 바탕으로 카이제곱 통계량을 계산한다.
유의수준을 활용하여 가설을 판단한다.

4. 카이제곱 통계량의 계산

카이제곱 통계량(χ²)은 다음의 수식을 통해 계산됩니다:

χ² = Σ((O - E)² / E)

여기서 O는 관찰된 빈도, E는 기대 빈도를 나타냅니다. 모든 범주에 대해 각 범주의 (O-E)²/E의 합을 취하여 최종 카이제곱 통계량을 구합니다.

4.1. 예제

가정: 동전 던지기 실험을 통해 100번의 실험 결과가 다음과 같다고 합시다. 홑면: 45회, 짝면: 55회. 기대 빈도는 각 면이 50회입니다.

O(H기): 45, E(기대): 50
O(짝): 55, E(기대): 50

카이제곱 통계량은 다음과 같이 계산됩니다:

χ² = ((45 - 50)² / 50) + ((55 - 50)² / 50)
   = (25/50) + (25/50) = 0.5 + 0.5 = 1

5. 유의성 판단

카이제곱 통계량이 계산되면, 자유도를 이용하여 카이제곱 분포에서 해당 통계량 이상의 값이 나올 확률을 구합니다. 이 확률이 미리 정해놓은 유의수준(보통 0.05)보다 작으면 귀무가설을 기각하고, 그렇지 않으면 귀무가설을 받아들입니다.

5.1. 신뢰구간과 유의수준

유의수준(α)은 귀무가설이 진짜일 때 이를 잘못 기각할 확률입니다. 일반적으로 사용되는 신뢰수준은 95%로, 이에 해당하는 유의수준은 0.05입니다. 신뢰구간은 결과의 범위를 나타내며, 카이제곱 검정에서는 이 신뢰구간을 통해 결과의 통계적 유의성을 평가할 수 있습니다.

6. 카이제곱 검정의 한계

카이제곱 검정은 몇 가지 한계가 있습니다:

표본 크기: 작은 표본 크기를 사용할 경우 카이제곱 검정의 결과가 신뢰할 수 없을 수 있습니다.
빈도가 낮은 범주: 기대 빈도가 5 미만인 범주에서 카이제곱 검정을 수행하면 잘못된 결과가 나올 수 있습니다.
이원적인 검정: 오직 범주형 데이터에 대해 수행될 수 있으며, 연속형 데이터에는 적합하지 않습니다.

7. 카이제곱 검정의 실제 예

실제 데이터를 통해 카이제곱 검정을 적용해보겠습니다. 데이터는 특정 제품의 선호도와 소비자의 성별을 조사한 결과로 가정합니다:

성별	제품 A	제품 B	제품 C
남성	30	20	10
여성	20	30	15

위 데이터를 바탕으로 카이제곱 검정을 수행하면:

1. 관찰된 빈도 O: 
   남성-A: 30, 남성-B: 20, 남성-C: 10
   여성-A: 20, 여성-B: 30, 여성-C: 15

2. 각 범주의 총합:
   남성: 60, 여성: 65
   전체: 125

3. 기대 빈도 E 계산:
   E(남성-A) = (60 * 50) / 125 = 24
   E(남성-B) = (60 * 50) / 125 = 24
   E(남성-C) = (60 * 25) / 125 = 12
   E(여성-A) = (65 * 50) / 125 = 26
   E(여성-B) = (65 * 50) / 125 = 26
   E(여성-C) = (65 * 25) / 125 = 13

4. 카이제곱 통계량 χ² 계산:
   χ² = ((30-24)²/24) + ((20-24)²/24) + ((10-12)²/12) + ((20-26)²/26) + ((30-26)²/26) + ((15-13)²/13)
      = 1.5 + 0.67 + 0.33 + 1.38 + 0.61 + 0.31
      = 4.0

5. 유의수준 평가: 자유도는 (2-1)(2-1) = 1이며, α = 0.05의 경우 카이제곱 분포에서 4.0 이상인 경우의 수를 찾는다.

결론

카이제곱 검정은 범주형 데이터 분석에서 중요한 통계적 도구로, 변수 간의 관계를 평가하거나 데이터의 적합도를 판단하는 데 유용합니다. 하지만 작은 표본 크기나 빈도가 낮은 범주에서는 주의가 필요하며, 신뢰할 수 있는 데이터 기반에서 결과를 해석해야 합니다. 통계적 분석을 통해 얻은 인사이트는 의사결정의 중요한 요소가 됩니다.

참고 문헌

Statistics for Business and Economics by Newbold, Birk, and William.
Practical Statistics for Data Scientists by Peter Bruce and Andrew Bruce.
Applied Multivariate Statistical Analysis by Johnson and Wichern.