작성일: 2023년 10월 10일
작성자: 통계 전문가
1. 확률 밀도 함수(PDF)란?
확률 밀도 함수(Probability Density Function, PDF)는 연속형 확률 분포를 정의하는 데 사용되는 함수입니다. 특정한 구간에 속하는 확률을 나타내기 위해 밀도를 사용하며, 이 분포는 주로 실수선상의 연속형 변수를 다루는 데 활용됩니다. PDF는 다음과 같은 성질을 갖습니다:
- PDF의 값은 0 이상입니다. 즉, 모든 x에 대해 f(x) ≥ 0 입니다.
- PDF의 전체 면적(적분 값)은 1입니다. 즉, ∫[−∞, ∞] f(x) dx = 1 입니다.
예를 들어, 정규 분포의 PDF는 다음과 같은 수식으로 정의됩니다:
f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x-μ)² / (2σ²))
여기서 μ는 평균, σ는 표준편차를 나타냅니다. 이 PDF는 x가 특정한 값에 근접할수록 해당 값이 나올 확률이 높아짐을 의미합니다.
2. 누적 분포 함수(CDF)란?
누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function, CDF)는 특정 값 이하의 확률을 나타내는 함수입니다. 즉, CDF는 확률 변수가 특정 값을 초과할 확률을 계산하는 데 유용합니다. CDF는 다음과 같은 성질을 가집니다:
- CDF는 0에서 1 사이의 값으로 정의됩니다. 즉, 0 ≤ F(x) ≤ 1 입니다.
- F(x)는 non-decreasing 함수입니다. 즉, 만약 a < b 라면 F(a) ≤ F(b) 입니다.
정규 분포에 대한 CDF는 다음과 같이 계산됩니다:
F(x) = ∫[−∞, x] f(t) dt
이 수식은 x 이하의 모든 값에 대해 PDF를 적분한 결과로, 특정 값까지의 누적 확률을 구할 수 있습니다.
3. PDF와 CDF의 관계
PDF와 CDF 사이에는 중요한 관계가 있습니다. CDF는 PDF의 적분으로, PDF는 CDF의 도함수로 나타낼 수 있습니다. 이러한 수학적 관계는 다음과 같습니다:
- PDF와 CDF의 관계 (연속형 확률 분포의 경우):
F(x) = ∫[−∞, x] f(t) dt
- PDF와 CDF의 도함수 관계:
f(x) = dF(x) / dx
이러한 관계는 PDF와 CDF의 역할을 명확하게 이해하는 데 도움을 줍니다.
4. 확률 계산에서 PDF와 CDF의 역할
확률 계산에서 PDF와 CDF는 중요한 도구입니다. 연속형 확률 분포에서 특정 값에 대한 확률을 구할 수 있는 방법은 다음과 같습니다:
4.1 특정 구간의 확률 계산
연속형 확률 변수가 특정 구간 [a, b]에 있을 확률은 해당 구간의 PDF를 적분하여 구할 수 있습니다:
P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dx
4.2 특정 값 이하의 확률 계산
특정 값 x 이하의 확률은 그 값의 CDF를 사용하여 간단히 계산할 수 있습니다:
P(X ≤ x) = F(x)
4.3 특정 값 초과의 확률 계산
특정 값 x 초과의 확률은 다음과 같이 구할 수 있습니다:
P(X > x) = 1 – F(x)
이러한 계산은 통계적 결정을 내리는 데 필수적입니다. 예를 들어, 신뢰 구간(confidence interval) 설정이나 가설 검정(hypothesis testing) 등의 통계적 방법에서 PDF와 CDF는 중요한 역할을 합니다.
5. 예제: 정규 분포에서의 PDF와 CDF
임의의 정규 분포 N(μ, σ²)에 대해, μ = 0, σ = 1인 표준 정규 분포를 예로 들어보겠습니다. 이때 PDF와 CDF는 다음과 같습니다:
PDF 계산
표준 정규 분포의 PDF는:
f(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x² / 2)
CDF 계산
표준 정규 분포의 CDF는:
F(x) = (1/2) * [1 + erf(x / √2)]
여기서 erf는 오차 함수(error function)입니다.
6. 결론
확률 밀도 함수(PDF)와 누적 분포 함수(CDF)는 연속형 확률 분포에서 필수적인 개념이며, 이들 간의 관계는 확률 계산에서 매우 중요합니다. PDF는 확률 밀도를 나타내고, CDF는 확률의 누적을 나타내는 함수로, 이를 통해 다양한 통계적 계산이 가능합니다. PDF와 CDF는 통계학, 데이터 분석, 머신러닝 등 다양한 분야에서도 광범위하게 응용되고 있으므로, 이들에 대한 충분한 이해는 필수적입니다.