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구간 합 문제는 주어진 배열 안에서 특정 범위의 합을 효율적으로 구하는 알고리즘 문제입니다. 이 문제는 다양한 프로그래밍 언어에서 자주 등장하며, 특히 C++에서의 구현이 중요합니다. 이번 강좌에서는 구간 합 문제에 대해 구체적인 문제를 설정하고, 이를 해결하기 위한 과정을 상세히 설명하겠습니다.

1. 문제 설명

다음과 같이 정수로 구성된 배열이 주어졌다고 가정해봅시다. 정수 배열 A의 크기는 N입니다. 우리는 M개의 쿼리를 통해 배열의 특정 구간의 합을 계산해야 합니다. 구간의 시작 인덱스는 L, 끝 인덱스는 R로 주어지며, 우리는 A[L] + A[L+1] + ... + A[R]를 계산해야 합니다.

예를 들어, 배열 A가 다음과 같다고 합시다:

A = [10, 20, 30, 40, 50]

그리고 다음과 같은 쿼리가 주어졌다고 가정해봅시다:

1. L = 1, R = 3
2. L = 0, R = 4
3. L = 2, R = 2

주어진 쿼리에 대한 구간 합을 구하면 다음과 같습니다:

1. A[1] + A[2] + A[3] = 20 + 30 + 40 = 90
2. A[0] + A[1] + A[2] + A[3] + A[4] = 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150
3. A[2] = 30

2. 문제 해결 접근 방법

구간 합 문제를 해결하기 위한 전통적인 방법은 직접 배열을 순회하는 것입니다. 그러나 이는 비효율적일 수 있습니다. 예를 들어, M개의 쿼리에서 각 쿼리마다 O(R - L + 1)의 시간이 소모된다면 최악의 경우 O(N * M)의 시간이 걸리게 됩니다. 이를 개선하기 위해 다음과 같은 방법을 사용합니다.

2.1. 전처리 방식 – 누적 합 배열

모든 쿼리의 합을 빠르게 계산하기 위해 누적 합 배열을 활용할 수 있습니다. 먼저 주어진 배열 A의 누적합 배열 S를 정의합니다. 누적합 배열은 다음과 같이 계산됩니다:

S[i] = S[i - 1] + A[i]

여기서 S[0]는 0으로 초기화됩니다. 누적합 배열을 사용하면 구간의 합을 다음과 같이 쉽게 구할 수 있습니다:

sum(L, R) = S[R] - S[L - 1]

이제 구간 합을 O(1)의 시간복잡도로 계산할 수 있습니다. 아래는 누적 합 배열을 사용하는 C++ 해결 방법입니다.

3. C++ 코드 예제

#include 
#include 
using namespace std;

int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;

    vector A(N);
    vector S(N + 1, 0); // S[0]은 0으로 초기화

    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> A[i];
        S[i + 1] = S[i] + A[i]; // 누적 합 계산
    }

    for (int i = 0; i < M; i++) {
        int L, R;
        cin >> L >> R;
        // 구간 합 출력
        cout << S[R] - S[L - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

4. 코드 설명

위 코드를 단계별로 설명하겠습니다:

1. 입력 받기: 배열의 크기 N과 쿼리 수 M을 입력받고, 배열 A의 값을 입력받습니다.
2. 누적 합 배열 생성: 각 인덱스에 대해 누적 합을 계산하여 S 배열에 저장합니다. 이 배열은 원본 배열 A의 값들의 합을 쉽게 찾아올 수 있게 돕습니다.
3. 쿼리 처리: 각 쿼리마다 구간의 시작 및 끝 인덱스 L와 R을 입력받고, 누적 합 배열 S를 통해 구간의 합을 계산하여 출력합니다.

5. 성능 분석

위의 C++ 코드의 시간 복잡도는 배열 A의 누적합을 계산하는 데 O(N), 각 쿼리를 처리하는 데 O(1)이므로 전체 시간 복잡도는 O(N + M)입니다. 이는 매우 효율적인 방법으로, 수천 개의 쿼리에서도 빠른 시간 내에 결과를 얻을 수 있습니다.

6. 다양한 변형 문제

구간 합 문제는 여러 가지 변형이 가능합니다. 예를 들어:

• 구간 최소값/최대값: 주어진 파라미터에 대한 최소값이나 최대값을 찾는 문제로 변형 가능.
• 구간 업데이트: 특정 범위의 값을 변경한 후 다시 구간 합을 계산해야 하는 경우. 이 경우 세그먼트 트리를 활용할 수 있습니다.
• 2차원 구간 합: 2차원 배열에서 특정 구간의 합을 계산하는 문제로, 이중 누적합을 사용할 수 있습니다.

7. 마무리

구간 합 문제는 프로그래밍에서 매우 유용한 기술 중 하나이며, 특히 대규모 데이터 처리가 필요한 경우 상당한 효율성을 제공합니다. 이번 강좌에서는 누적 합 배열을 이용하여 구간 합 문제를 해결하는 방법을 알아보았습니다. 다양한 변형 문제를 통해 이 기술을 더욱 발전시킬 수 있습니다. 여러 문제를 풀어보며 경험을 쌓고, C++ 코딩 테스트에서 높은 점수를 얻기를 바랍니다.

강좌를 마치며, 추가적인 질문이나 요청 사항이 있을 경우 댓글로 남겨주세요.

데이터 구조와 알고리즘의 이해는 개발자로서의 성장에 필수적인 요소입니다. C++는 고성능의 프로그래밍 언어로, 특히 코딩 테스트와 같은 알고리즘 문제를 해결하기 위해 널리 사용됩니다. 이번 강좌에서는 ‘구간 곱 구하기’라는 문제를 다루며, 이를 해결하기 위한 다양한 접근 방식을 설명하겠습니다.

문제 정의

주어진 배열과 몇 개의 질의(query)에 대해, 지정된 구간의 곱을 빠르게 계산하는 문제를 고려해보겠습니다.

문제:

주어진 정수 배열 A와 질의의 수 Q가 있다.
A[i]는 배열의 i번째 원소를 의미하며, 1 ≤ i ≤ N입니다. 각 질의는 두 수 L과 R을 포함하여, L ≤ R일 때 A[L] × A[L+1] × ... × A[R]의 값을 구하는 것이다.

입력:

• 배열의 크기 N (1 ≤ N ≤ 10⁵)
• 정수 배열 A[1...N] (1 ≤ A[i] ≤ 10⁹)
• 질의의 수 Q (1 ≤ Q ≤ 10⁵)
• 각 질의는 두 정수 L와 R (1 ≤ L ≤ R ≤ N)

출력:

각 질의에 대한 구간 곱을 한 줄씩 출력한다.

문제 접근 방식

이 문제를 해결하기 위해 몇 가지 접근 방식을 생각할 수 있습니다.

첫 번째로, 단순한 방법은 각 질의를 위해 주어진 구간의 곱을 순차적으로 계산하는 것입니다.
그러나 이 방법은 최악의 경우 O(N * Q)의 시간이 걸리므로 비효율적입니다.

두 번째 방법은 세그먼트 트리를 사용하는 것입니다.
세그먼트 트리는 적은 시간 안에 구간에 대한 합, 곱 또는 최대/최소 값을 계산하는 데 효과적입니다.

세 그 영역 트리의 각 노드는 그 지역의 곱을 저장하고, 이를 통해 구간 곱을 O(log N) 시간 안에 구할 수 있습니다.

세그먼트 트리의 구조

세그먼트 트리는 이진 트리의 형태로 구성되며, 각 노드는 배열의 특정 구간에 대한 정보를 저장합니다.
세그먼트 트리는 대개 다음 가지 주요 작업을 수행할 수 있습니다:

1. 구간 곱 조회: query()함수
2. 원소 업데이트: update()함수

최종 코드 구현

아래는 세그먼트 트리를 이용하여 구간 곱을 계산하는 C++ 코드입니다:

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 세그먼트 트리 클래스 정의
class SegmentTree {
private:
    vector tree; // 트리 저장
    int size; // 원본 배열의 크기
    
    // 하위 배열의 곱을 계산하는 함수
    long long buildTree(const vector& arr, int node, int start, int end) {
        if(start == end) {
            return tree[node] = arr[start];
        }
        int mid = (start + end) / 2;
        return tree[node] = buildTree(arr, node*2, start, mid) * buildTree(arr, node*2+1, mid+1, end);
    }

public:
    // 생성자
    SegmentTree(const vector& arr) {
        size = arr.size();
        tree.resize(4 * size);
        buildTree(arr, 1, 0, size - 1);
    }

    // 특정 구간의 곱 구하기
    long long query(int node, int start, int end, int L, int R) {
        if(R < start || end < L) return 1; // 곱셈 항등원
        if(L <= start && end <= R) return tree[node]; // 전체 노드 범위
        int mid = (start + end) / 2;
        return query(node*2, start, mid, L, R) * query(node*2 + 1, mid + 1, end, L, R);
    }

    // 외부에서 호출할 수 있는 함수
    long long query(int L, int R) {
        return query(1, 0, size - 1, L, R);
    }
};

int main() {
    int N, Q;
    cin >> N; // 배열 크기
    vector A(N);
    for(int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> A[i]; // 배열 요소 입력
    }
    SegmentTree segtree(A); // 세그먼트 트리 생성

    cin >> Q; // 질의 수
    for(int i = 0; i < Q; i++) {
        int L, R;
        cin >> L >> R; // 질의 범위 입력
        cout << segtree.query(L - 1, R - 1) << endl; // 결과 출력 (0-based index 변환)
    }
    return 0;
}
    

코드 설명

• buildTree() 함수는 세그먼트 트리를 구축하는 데 사용됩니다.
• query() 함수는 주어진 구간에 대한 곱을 계산합니다.
• main() 함수에서 입력을 받고, 처리된 구간 곱을 출력합니다.

시간 복잡도

세그먼트 트리의 구축 시간은 O(N), 각 질의에 대한 응답 시간은 O(log N)입니다.
따라서 전체 알고리즘의 최악의 시간 복잡도는 O(N + Q log N)입니다.
이는 큰 입력 데이터도 효율적으로 처리할 수 있도록 해줍니다.

마무리

코딩 테스트에서 주어지는 문제에 대해 적절한 자료 구조와 알고리즘을 선택하는 것은 매우 중요합니다.
이번 강좌에서는 세그먼트 트리를 이용한 구간 곱 구하기 문제를 다뤄보았고, 이를 통해 효율적인 방법이 무엇인지 살펴보았습니다.
알고리즘 문제를 풀며 코딩 능력을 향상시키기를 바라며, 앞으로도 다양한 주제를 다루어 가겠습니다.

작성자: 조광형

작성일: 2024년 11월 26일

1. 문제 설명

계단 수란, 오르막과 내리막을 선택해 계단을 오르는 수의 조합을 말합니다. 주어진 문제는 아래와 같습니다.

정수 N이 주어질 때, N계단을 오르는 방법의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

단, 한 번에 한 계단 또는 두 계단을 올라갈 수 있으며, 마지막 계단의 수는 1~9까지의 숫자로 끝나야 합니다.

예를 들어, 4계단을 오르는 방법은 다음과 같습니다:

• 1111 (1+1+1+1)
• 112 (1+1+2)
• 121 (1+2+1)
• 211 (2+1+1)
• 22 (2+2)

위 경우를 고려할 때, 계단 수를 올바로 구하는 코드를 작성해야 합니다.

2. 문제 분석

문제를 해결하기 위해 몇 가지 중요한 점을 분석해보겠습니다.

• 상태 정의: N번째 계단은 이전 계단의 상태에 따라 다르게 구성됩니다. 예를 들어, N=1과 N=2에서의 경우의 수를 보십시오.
• 점화식: N계단을 오르는 방법은 N-1 계단에서 1 계단을 올라오는 경우와 N-2 계단에서 2 계단을 올라오는 경우를 합한 것과 같습니다. 마지막 계단의 수는 1~9까지의 숫자 중 하나이어야 합니다.
• 결과: N 계단을 오르는 경우의 수는 각 경우의 수를 모두 더한 결과값입니다.

3. 점화식 도출

일반적인 점화식은 다음과 같이 표현됩니다:

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-2][j]
            

여기서 dp[i][j]는 i번째 계단에서 j로 끝나는 경우의 수를 나타냅니다. 초기 조건으로는 dp[1][1] = 1, dp[1][2] = 1 … dp[1][9] = 1을 설정할 수 있습니다. 이를 바탕으로 아래와 같은 코드를 작성할 수 있습니다.

4. 코드 구상

이제 C++로 코드를 작성해보겠습니다. 이 코드는 주어진 N을 인자로 받아 그에 해당하는 계단 수의 경우의 수를 출력합니다.

#include <iostream>

using namespace std;

const int MOD = 1000000000; // 큰 수 처리를 위한 MOD 설정
int dp[100][10]; // dp 테이블

void init() {
    for (int i = 1; i <= 9; i++) {
        dp[1][i] = 1; // 한 계단을 오르는 경우의 수
    }
  
    for (int i = 2; i <= 100; i++) {
        for (int j = 0; j <= 9; j++) {
            // 0으로 끝나는 경우 (j == 0)
            if (j == 0) {
                dp[i][0] = dp[i - 1][1] % MOD; 
            }
            // 9로 끝나는 경우 (j == 9)
            else if (j == 9) {
                dp[i][9] = dp[i - 1][8] % MOD; 
            }
            // 나머지 경우
            else {
                dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j + 1]) % MOD;
            }
        }
    }
}

int main() {
    int N;
    cin >> N; // 계단의 수 입력
    init(); // dp 테이블 초기화

    long long total = 0;
    for (int i = 0; i <= 9; i++) {
        total = (total + dp[N][i]) % MOD; // 총 경우의 수 계산
    }

    cout << total << endl; // 결과 출력
    return 0;
}
            

5. 코드 설명

위 코드는 계단 수를 구하기 위한 동적 프로그래밍 방식으로 작성되었습니다.

• 입력 받기: 사용자로부터 N을 입력받아 계단 수를 계산합니다.
• 테이블 초기화: dp 테이블의 첫 번째 행을 초기화하여 각 끝자리 숫자에 대해 1로 설정합니다.
• 점화식 적용: 각 계단 수에 대해 가능한 경우의 수를 계산하고 MOD로 나눈 값을 저장합니다.
• 결과 계산: 1부터 9까지의 경우의 수를 모두 합산하여 최종 결과를 출력합니다.

6. 복잡도 분석

이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(N)으로, 주어진 N에 대해 선형 시간이 소요 됩니다. 공간 복잡도 또한 O(N)의 크기를 가집니다. 이를 통해 메모리와 시간의 효율성을 확보했습니다.

7. 결론

계단 수 문제는 동적 프로그래밍의 기본적인 개념을 배우기에 적합한 문제입니다. 이 문제를 수행하면서 재귀적 사고와 메모이제이션의 개념을 이해하는 데 큰 도움이 됩니다. C++ Programming Language를 통해 이 문제를 해결함으로써 알고리즘 문제 해결 능력을 한층 더 강화할 수 있습니다.

이 강좌가 C++ 코딩테스트 준비에 도움이 되길 바랍니다! 학습해보시고, 더 많은 문제를 풀어보세요!

이 강좌에서는 C++를 사용하여 그래프에서 경로를 찾는 알고리즘을 구현합니다.
특히 BFS(너비 우선 탐색)를 이용하여 최단 경로를 찾는 방법을 다루고자 합니다.
이 과정에서 실제 코딩 테스트에서 자주 출제되는 문제를 풀이하며,
알고리즘 이론과 구현을 자세히 설명하겠습니다.

문제 설명

주어진 그래프에서 두 지점 사이의 최단 경로를 찾는 문제를 해결해야 합니다.
그래프는 노드와 에지로 구성되며, 각 노드는 서로 연결되어 있습니다.
일반적으로 이 문제는 다음과 같은 형식으로 주어집니다:

    입력:
    6 7
    0 1
    0 2
    1 3
    1 4
    2 5
    4 5
    3 5
    0 5

    출력:
    2
    

첫 번째 줄은 노드 수(정점)와 에지 수(간선)의 수를 나타내며,
두 번째 줄부터는 각 에지의 연결 정보를 나타냅니다.
마지막 줄은 시작 노드와 도착 노드를 의미합니다.

알고리즘 이론

그래프에서의 경로 찾기는 DFS(깊이 우선 탐색)와 BFS(너비 우선 탐색) 두 가지 방법으로 수행할 수 있습니다.
본 강좌에서는 BFS를 사용하여 최단 경로를 찾는 방법에 중점을 두겠습니다.
BFS는 동작 방식이 직관적이며, 큐를 사용하여 모든 인접한 노드를 탐색하는 방식으로 진행됩니다.

BFS의 동작 원리

BFS의 기본 동작 원리는 다음과 같습니다:

1. 시작 노드를 큐에 추가하고 방문 처리합니다.
2. 큐에서 노드를 하나 꺼내 그 노드의 인접 노드를 모두 탐색합니다.
3. 탐색한 인접 노드 중 방문하지 않은 노드를 큐에 추가하고 방문 처리합니다.
4. 큐가 빌 때까지 2번과 3번 과정을 반복합니다.

BFS는 최단 경로를 보장하는 이유는 모든 노드를 같은 레벨에서 처리하기 때문입니다.
이렇게 레벨을 기준으로 탐색하기 때문에 최단 경로가 보장됩니다.

문제 해결 과정

이제 문제를 해결하기 위해 필요할 알고리즘을 구현하겠습니다.
아래는 문제 해결을 위한 C++ 코드입니다.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

int bfs(vector>& graph, int start, int end) {
    queue q;
    vector visited(graph.size(), false);
    vector distance(graph.size(), -1);
    
    q.push(start);
    visited[start] = true;
    distance[start] = 0;

    while (!q.empty()) {
        int node = q.front();
        q.pop();
        
        for (int neighbor : graph[node]) {
            if (!visited[neighbor]) {
                visited[neighbor] = true;
                distance[neighbor] = distance[node] + 1;
                q.push(neighbor);
                
                if (neighbor == end) {
                    return distance[neighbor];
                }
            }
        }
    }
    return -1; // 경로가 없는 경우 
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector> graph(n);
    
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        graph[u].push_back(v);
        graph[v].push_back(u); // undirected graph
    }

    int start, end;
    cin >> start >> end;

    int result = bfs(graph, start, end);
    cout << result << endl;

    return 0;
}
    

코드 설명

위 코드는 그래프의 노드 수와 에지 수를 입력받고,
각 에지의 정보를 통해 그래프를 구축한 후 BFS를 이용하여
시작 노드와 종료 노드 사이의 최단 경로를 찾는 예제입니다.

1. 먼저 필요한 헤더 파일을 포함하고, using namespace std;를 선언합니다.
2. bfs 함수는 그래프, 시작 노드, 종료 노드를 파라미터로 받습니다.
3. 큐를 선언하고, 방문 여부를 나타내는 visited 벡터를 초기화합니다.
4. 큐에 시작 노드를 추가하고 방문 처리합니다.
5. 큐가 비어있지 않을 때까지 반복하면서 노드를 꺼내고 인접 노드를 탐색합니다.
6. 방문하지 않은 인접 노드를 큐에 추가하고 거리 정보를 업데이트합니다.
7. 종료 노드에 도달하면 해당 거리를 반환합니다.
8. 거리 정보는 -1로 초기화됩니다; 경로가 없으면 -1을 반환합니다.

결과 및 분석

위 코드를 컴파일하고 입력 예시를 통해 실행하면,
시작 노드와 종료 노드 간의 최단 경로가 출력됩니다.
BFS는 모든 인접 노드를 탐색하므로, 최단 경로를 보장합니다.
그래프의 크기가 커질수록 탐색 시간이 비례하여 증가하지만,
BFS는 대부분의 그래프 문제에 적합한 알고리즘입니다.

복잡도 분석

BFS의 시간 복잡도는 O(V + E)입니다. 여기서 V는 노드의 수,
E는 에지의 수입니다. 메모리 복잡도 또한 O(V)입니다.
이 복잡도는 그래프의 구조에 따라 달라질 수 있습니다.
나쁜 경우(예: 완전 그래프)에는 E가 V^2가 될 수 있습니다.

마무리

이번 강좌에서는 C++를 사용하여 그래프에서 최단 경로를 찾는 문제를
BFS 알고리즘을 통해 해결했습니다. BFS의 이해와 그 구현은
코딩 테스트에서 중요한 부분이므로 충분히 연습하시길 바랍니다.
향후 더 다양한 문제를 통해 실력을 쌓아 나가시기를 바랍니다.