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작성자: 조광형

작성일: 2024년 11월 26일

문제 설명

코딩 테스트에서 행렬의 곱셈은 빈번하게 등장하는 문제 중 하나입니다. 특히, 주어진 행렬들을 효율적으로 곱하는 방법을 묻는 문제는 최적의 알고리즘 설계를 통해 연산 횟수를 최소화할 수 있는 귀중한 기술을 필요로 합니다. 이번 강좌에서는 주어진 행렬의 곱 연산의 최솟값을 구하는 문제를 다루겠습니다.

문제는 다음과 같습니다:

주어진 n개의 행렬의 크기 리스트 p가 주어질 때, 행렬을 곱셈하여 최종 행렬을 만드는 과정에서 필요한 곱셈 연산의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오. 행렬 A의 크기가 p[i-1] x p[i]일 때, A와 B의 곱셈으로 만들어지는 행렬 C의 크기는 p[i-1] x p[j]가 되며, 이때 연산 횟수는 p[i-1] * p[i] * p[j]로 계산된다.

예를 들어, 행렬의 크기 리스트가 [10, 20, 30, 40]인 경우, 가능한 행렬 곱셈 순서에 따라 연산 횟수는 다르게 발생합니다. 이때 필요한 연산의 최소 횟수를 구해야 합니다.

문제 접근 방법

행렬의 곱셈에서 최소 연산 횟수를 구하기 위해서는 동적 계획법(Dynamic Programming) 기법을 사용할 수 있습니다. 이 기법은 복잡한 문제를 더 작은 하위 문제로 나누어 해결합니다.

우리의 기본 아이디어는 다음과 같습니다:

• 행렬의 곱셈에서 연산 횟수를 최적화하기 위해서는 두 개의 행렬을 언제 곱할지를 결정해야 합니다.
• 각 구간에 대해 최소 연산 횟수를 저장하는 테이블을 만들고, 이를 사용하여 부분 문제를 해결합니다.
• 최종적으로 모든 행렬을 곱할 때의 최소 연산 횟수를 구할 수 있습니다.

구현 과정

먼저, 입력으로 주어진 행렬 크기 리스트 p를 사용하여 동적 계획법 배열 m을 초기화합니다. 여기서 m[i][j]는 i번째 행렬부터 j번째 행렬까지 곱할 때의 최소 곱셈 횟수를 의미합니다.

1. 테이블 초기화

n = len(p) - 1
m = [[0] * n for _ in range(n)]
        

2. 부분 문제 해결

2개의 행렬을 곱할 때의 곱셈 횟수는 단순히 두 행렬의 크기 곱 이어야 합니다. 이를 기반으로 테이블을 업데이트합니다.

for length in range(2, n + 1):  # 길이를 2부터 n까지 설정
    for i in range(n - length + 1):
        j = i + length - 1  # j는 i에서 length만큼 떨어진 인덱스
        m[i][j] = float('inf')  # 현재 m[i][j]를 무한대로 초기화
        for k in range(i, j):
            cost = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i] * p[k+1] * p[j+1]
            if cost < m[i][j]:
                m[i][j] = cost  # 최소값 업데이트
        

3. 결과 출력

위의 과정을 통해 완전히 채워진 달력에서 최종적으로 m[0][n-1] 값이 전체 행렬을 곱할 때의 최소 연산 횟수가 됩니다.

print("최소 연산 횟수:", m[0][n-1])
        

예제 코드

전체 코드는 다음과 같습니다:

def matrix_chain_order(p):
    n = len(p) - 1
    m = [[0] * n for _ in range(n)]
    
    for length in range(2, n + 1):  # length 2부터 n까지
        for i in range(n - length + 1):
            j = i + length - 1
            m[i][j] = float('inf')
            for k in range(i, j):
                cost = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i] * p[k+1] * p[j+1]
                if cost < m[i][j]:
                    m[i][j] = cost
                    
    return m[0][n-1]

# 예제 입력
p = [10, 20, 30, 40]
print("최소 연산 횟수:", matrix_chain_order(p))
        

성능 평가

위의 코드의 시간 복잡도는 O(n^3)이며, 공간 복잡도는 O(n^2)입니다. 이 알고리즘은 n이 적을 때 매우 효율적이며, 대규모 데이터에 대해서는 보완할 방법을 찾아야 합니다. 예를 들어, 행렬 곱셈의 재배열이나 병렬 처리를 통한 최적화가 필요할 수 있습니다.

추가 고찰

알고리즘 문제 해결에 있어, 행렬 곱 연산 횟수를 최소화하는 문제는 매우 교훈적입니다. 이는 알고리즘적 사고를 발전시키고, 문제를 체계적으로 분석하는 방법을 배우기에 적합한 예제입니다. 이러한 기법들을 적용하여 실전에서의 문제 해결 능력을 키우는 것이 중요합니다.

또한, 이와 유사한 다른 문제들도 탐색해 보는 것이 좋습니다. 예를 들어, 길이가 다른 배열이나 행렬에 대해 유사한 접근을 할 수 있으며, 동적 계획법을 활용한 다양한 문제 해결 방법이 여기에 해당됩니다.

안녕하세요! 이번 강좌에서는 플로이드-워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘에 대해 깊이 있게 알아보겠습니다. 이 알고리즘은 주어진 그래프의 모든 쌍 최단 경로를 찾는 문제를 해결하는 데 매우 유용합니다. 우리는 이 알고리즘을 이해하기 위해 예제를 통해 설명하고, 최적화를 포함하여 다양한 변형도 논의할 것입니다.

플로이드-워셜 알고리즘이란?

플로이드-워셜 알고리즘은 그래프 이론에서 모든 노드 간의 최단 경로를 찾는 데 사용되는 알고리즘입니다. 이 알고리즘은 다음과 같은 과정을 통해 작동합니다.

1. 그래프의 각 정점 쌍에 대해 초기 거리 값을 설정합니다.
2. 각 정점을 시작 정점으로 간주하여 최단 거리를 업데이트합니다.
3. 거리 행렬을 반복적으로 업데이트하여 최종적으로 모든 쌍의 최단 거리를 찾습니다.

문제 설명

그럼 이제 문제를 살펴보겠습니다. 다음과 같은 그래프가 주어졌다고 가정합시다.

        노드: 0, 1, 2
        엣지: 
        0 -> 1 (거리 3)
        0 -> 2 (거리 8)
        1 -> 2 (거리 2)
    

입력

그래프의 노드 수와 각 엣지의 거리 정보가 주어집니다. 아래와 같은 형식으로 입력을 받습니다:

    3
    0 1 3
    0 2 8
    1 2 2
    

출력

각 노드 간의 최단 거리 행렬을 출력합니다.

알고리즘 구현

이제 플로이드-워셜 알고리즘을 파이썬으로 구현해 보겠습니다. 아래는 알고리즘의 코드입니다:

def floyd_warshall(num_vertices, edges):
    # 거리를 무한대로 초기화합니다.
    dist = [[float('inf')] * num_vertices for _ in range(num_vertices)]
    
    # 자기 자신과의 거리는 0입니다.
    for i in range(num_vertices):
        dist[i][i] = 0
        
    # 주어진 엣지에 대해 초기 거리 설정
    for u, v, w in edges:
        dist[u][v] = min(dist[u][v], w)  # 여러 경로가 있을 경우 최소 거리 설정
    
    # 플로이드-워셜 알고리즘 수행
    for k in range(num_vertices):
        for i in range(num_vertices):
            for j in range(num_vertices):
                if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]:
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]
    
    return dist

# 입력 받기
num_vertices = int(input("노드의 수를 입력하세요: "))
edges = []

for _ in range(int(input("엣지의 수를 입력하세요: "))):
    u, v, w = map(int, input("엣지를 입력하세요 (u, v, 거리): ").split())
    edges.append((u, v, w))

# 알고리즘 실행
shortest_paths = floyd_warshall(num_vertices, edges)

# 결과 출력
for row in shortest_paths:
    print(row)
    

코드 설명

이제 코드를 하나씩 살펴보겠습니다.

거리 초기화

우리는 그래프의 노드 수를 기반으로 거리 행렬을 생성합니다. 처음에는 모든 거리를 무한대로 설정한 후, 자기 자신과의 거리는 0으로 설정합니다.

엣지 입력 처리

주어진 엣지 정보를 읽고, 각 노드 간의 초기 거리를 설정합니다. 여러 엣지가 존재하는 경우에는 최소 거리를 선택하도록 합니다.

주요 알고리즘 로직

하게 될 수 있는 세 개의 중첩 루프를 사용하여 모든 쌍의 노드 간의 최단 경로를 계산합니다. 이 루프는 k를 промежуточ한 정점으로 사용하여 i에서 j까지의 최단 경로를 갱신합니다.

실행 예시

알고리즘을 다음과 같이 실행해 보겠습니다:

    노드의 수를 입력하세요: 3
    엣지의 수를 입력하세요: 3
    엣지를 입력하세요 (u, v, 거리): 0 1 3
    엣지를 입력하세요 (u, v, 거리): 0 2 8
    엣지를 입력하세요 (u, v, 거리): 1 2 2
    

위 예제를 실행했을 때의 출력은 다음과 같습니다:

    [0, 3, 5]
    [inf, 0, 2]
    [inf, inf, 0]
    

결론

플로이드-워셜 알고리즘은 모든 쌍 최단 경로를 찾는 데에 매우 유용한 알고리즘입니다. 이 알고리즘을 통해 우리는 그래프의 복잡한 구조에서도 효율적으로 최단 경로를 찾아낼 수 있습니다. 다양한 문제를 해결하기 위해 알고리즘을 적용할 수 있는 연습을 해보는 것이 중요합니다. 다음 코딩테스트에서는 이 알고리즘을 사용해 다양한 문제를 풀어보세요!

코딩 테스트를 준비하는 많은 개발자들에게 평균 구하기 문제는 단순하면서도 중요한 기초 문제로 자리 잡고 있습니다.
이 문제는 데이터 집합에서 평균을 계산하는 과정에서 프로그래밍의 기초적인 개념을 다질 수 있는 좋은 기회입니다.

문제 설명

주어진 정수 리스트에서 평균을 구하시오.
리스트는 1 이상 100 이하의 정수로 이루어져 있으며, 리스트의 길이는 1 이상 1000 이하입니다.
평균은 소수점 이하 첫째 자리까지 반올림하여 출력해야 합니다.

입력

• 첫 번째 줄에 정수 n (1 ≤ n ≤ 1000)이 주어집니다. n은 리스트의 길이입니다.
• 두 번째 줄에는 n개의 정수가 주어집니다. 각 정수는 1 이상 100 이하입니다.

출력

리스트의 평균을 소수점 이하 첫째 자리까지 반올림하여 출력합니다.

예제

입력:
5
10 20 30 40 50
출력:
30.0

문제 풀이 과정

1. 문제 분석

이 문제를 해결하기 위해서는 다음과 같은 단계를 따르면 됩니다:

1. 리스트에서 정수를 입력 받는다.
2. 리스트의 총 합을 계산한다.
3. 리스트의 길이(n)로 총 합을 나누어 평균을 계산한다.
4. 계산한 평균을 소수점 이하 첫째 자리까지 반올림한다.

2. 알고리즘 설계

위의 단계를 바탕으로 알고리즘을 설계해보겠습니다.
1. 사용자로부터 n을 입력 받습니다.
2. n개의 정수를 입력 받아 리스트에 저장합니다.
3. 리스트의 합을 구합니다.
4. 합을 n으로 나누어 평균을 계산합니다.
5. 평균을 내림차순으로 출력합니다.

3. 파이썬 코드 구현

이제 위의 알고리즘을 파이썬 코드로 구현해 보겠습니다.
코드는 다음과 같습니다:

def calculate_average():
    # 사용자로부터 길이를 입력 받음
    n = int(input("리스트의 길이를 입력하세요: "))
    # 리스트 생성
    numbers = list(map(int, input("정수를 입력하세요 (공백으로 구분): ").split()))
    
    # 유효성 검사
    if len(numbers) != n:
        print("입력한 숫자의 개수가 리스트의 길이와 일치하지 않습니다.")
        return
    
    # 평균 계산
    total = sum(numbers)
    average = total / n
    
    # 소수점 이하 첫번째 자리까지 반올림
    average_rounded = round(average, 1)
    
    # 결과 출력
    print(f"리스트의 평균: {average_rounded}")

# 함수 호출
calculate_average()
    

4. 코드 설명

1. 입력 받기: `n`을 입력 받고, 이후 `n`개의 정수를 입력 받아 리스트 `numbers`에 저장합니다.

2. 유효성 검사: 입력된 숫자의 개수가 `n`과 일치하는지 확인합니다.
일치하지 않으면 오류 메시지를 출력하고 함수를 종료합니다.

3. 합계와 평균 계산: 리스트의 합계를 구하고, 평균을 계산합니다.

4. 반올림: `round()` 함수를 사용하여 평균을 소수점 이하 첫째 자리까지 반올림합니다.

5. 출력: 마지막으로 계산된 평균을 출력합니다.

5. 예외 처리 및 추가 고려사항

– 입력 값이 조건을 만족하지 않을 경우 예외를 처리할 수 있어야 합니다.
예를 들어, 리스트의 길이와 입력된 숫자 개수가 다를 경우 오류 메시지를 출력하도록 설계되었습니다.

– 또한, `input()` 함수는 문자열로 입력을 받기 때문에, 이를 정수로 변환할 필요가 있습니다.
여기서는 `map(int, …)` 함수를 사용하여 리스트의 모든 요소를 정수형으로 변환하는 방법을 사용했습니다.

6. 추가 문제: 평균 계산 함수 개선하기

위의 문제를 해결한 후, 몇 가지 개선사항을 추가할 수 있습니다.
예를 들어, 함수가 입력을 받을 때 사용자에게 안내 메시지를 줄 수 있도록 개선할 수 있습니다.
사용자에 맞는 피드백을 주면 레벨 높은 사용자 경험을 제공하게 됩니다.

결론

이번 포스팅에서는 리스트에서 평균을 구하는 문제를 다루었습니다.
이와 같은 기초 문제를 통해 파이썬 기본 문법 및 데이터 처리 방법에 대해 이해할 수 있었습니다.
앞으로 더 복잡한 문제를 다루기 전에 이러한 기본적인 문제 해결 능력을 기르는 것은 필수적입니다.
파이썬을 통해 알고리즘과 데이터 처리 능력을 한 단계씩 발전시켜 나가시길 바랍니다.

감사합니다!

작성자: 조광형

작성일: 2024년 11월 26일

문제 정의

주어진 도시와 거리 정보를 바탕으로, 특정 거리 K에 정확히 도달할 수 있는 도시 목록을 구하는 문제입니다.
각 도시는 번호로 표현되며, 두 도시 간의 거리 정보는 양방향 도로로 연결된 형태로 주어집니다.
목표는 K만큼 떨어진 도시를 찾는 것입니다.

예를 들어, N개의 도시가 있고, M개의 도로가 있으며, 출발 도시가 주어질 때 K만큼 떨어진 도시를 출력합니다.

입력

• N: 도시의 개수 (1 ≤ N ≤ 300,000)
• M: 도로의 개수 (1 ≤ M ≤ 1,000,000)
• K: 거리 정보 (0 ≤ K ≤ 300,000)
• X: 출발 도시 번호 (1 ≤ X ≤ N)
• 도로 정보: A, B (A에서 B로 가는 도로)

출력

특정 거리 K에 있는 도시의 번호를 오름차순으로 출력하고, 그러한 도시가 없으면 -1을 출력합니다.

예제

                
                입력:
                4 4 2 1
                1 2
                1 3
                2 3
                2 4

                출력:
                4
                
                

설명: 도시 1에서 시작할 때, 거리 2에 있는 도시 4가 유일합니다.

알고리즘 접근 방법

이 문제는 그래프 탐색 알고리즘을 활용하여 해결할 수 있습니다.
도시들을 노드로, 도로를 간선으로 표현한 그래프를 구성합니다.
BFS(너비 우선 탐색) 알고리즘을 이용하여 시작 도시 X에서부터 거리 K에 도달하는 도시를 찾는 방식으로 접근합니다.
BFS는 최단 경로를 찾는 데 유용하며, 대규모 그래프에서도 효율적으로 동작하기 때문에 이 문제에 적합합니다.

문제 해결 과정

1. 그래프 생성

먼저, 도로 정보로부터 그래프를 생성합니다.
리스트를 이용하여 그래프를 표현하고, 각 도시를 키로 사용하여 연결된 도시를 값으로 가지는 딕셔너리를 사용합니다.

2. BFS 구현

BFS를 구현하기 위해 큐를 사용합니다.
시작 도시를 큐에 추가하고, 방문한 도시를 기록합니다.
각 도시에 대해 방문할 거리 K인 도시를 탐색합니다.

3. 출력 처리

BFS 탐색 후, K거리 도시에 해당하는 도시 번호를 정렬하여 출력하거나, 도시가 없는 경우 -1을 출력합니다.

Python 코드

                
                from collections import deque

                def find_cities_with_distance(n, m, k, x, roads):
                    # 그래프 생성
                    graph = [[] for _ in range(n + 1)]
                    for a, b in roads:
                        graph[a].append(b)
                    
                    # BFS 초기화
                    distance = [-1] * (n + 1)
                    distance[x] = 0
                    queue = deque([x])
                    
                    while queue:
                        city = queue.popleft()
                        for neighbor in graph[city]:
                            if distance[neighbor] == -1:  # 방문하지 않은 도시
                                distance[neighbor] = distance[city] + 1
                                queue.append(neighbor)
                    
                    # 결과 생성
                    result = [i for i in range(1, n + 1) if distance[i] == k]
                    return result if result else [-1]
                
                # Test case
                n = 4
                m = 4
                k = 2
                x = 1
                roads = [(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4)]
                print(find_cities_with_distance(n, m, k, x, roads))
                
            

이 코드는 BFS를 사용하여 특정 거리 K에 도달할 수 있는 도시를 찾습니다. 그래프는 인접 리스트로 표현되며 간선 정보를 바탕으로 노드 간의 연결 관계를 정의합니다.

결론

“특정 거리의 도시 찾기” 문제는 그래프 탐색 알고리즘, 특히 BFS를 통해 효율적으로 해결할 수 있는 문제입니다.
이 문제를 통해 BFS의 기본 원리, 그래프를 구성하는 방법, 그리고 최단 거리 탐색에 대한 이해를 높일 수 있습니다.
기초부터 시작하여, 더 복잡한 그래프 문제로 나아갈 수 있는 디딤돌이 될 것입니다.

트리는 컴퓨터 과학에서 매우 중요한 자료구조 중 하나입니다. 특히 트리는 계층적 관계를 나타내는 데 유용하며, 다양한 알고리즘 문제에서 사용됩니다. 이번 강좌에서는 트리의 지름을 구하는 문제를 다룰 것입니다.
지름이란 트리에서 두 노드 사이의 가장 긴 경로를 의미합니다. 이 문제는 DFS(깊이 우선 탐색) 또는 BFS(너비 우선 탐색) 알고리즘을 통해 해결할 수 있습니다.

문제 설명

주어진 비어있지 않은 트리의 각 노드는 정수로 표시됩니다. 트리에서 두 노드 사이의 가장 긴 경로의 길이를 구하는 문제를 해결하세요.
입력으로는 트리의 노드 수 N과 N-1개의 간선 정보가 주어집니다. 간선 정보는 두 노드를 연결하는 형태로 제공됩니다.
구체적으로, 다음과 같은 형식의 입력이 주어질 것입니다:

    N
    a1 b1
    a2 b2
    ...
    a(N-1) b(N-1)
    

여기서 a와 b는 각각 연결된 두 노드를 나타냅니다.

입력 예시

    5
    1 2
    1 3
    2 4
    2 5
    

출력 예시

    3
    

이 경우 트리의 지름은 노드 4와 노드 5 사이로, 경로는 4 → 2 → 1 → 3 또는 4 → 2 → 5로 구성됩니다.
따라서 출력은 3입니다.

문제 풀이

트리의 지름을 구하기 위해서는 DFS 또는 BFS 알고리즘을 사용할 수 있습니다.
일반적인 접근 방법은 다음과 같습니다.

1. 첫 번째 단계로, 임의의 노드에서 DFS를 실행해서 가장 먼 노드를 찾습니다.
   이 노드를 X라고 합시다.
2. 두 번째 단계로, 노드 X에서 다시 DFS를 실행하여 가장 먼 노드인 Y를 찾습니다.
   X와 Y 사이의 경로가 트리의 지름이 됩니다.

이 과정을 통해 시간 복잡도는 O(N)이 되며, 재귀적으로 DFS를 호출하는 방식으로 구현됩니다.

파이썬 코드 구현

이제 위의 로직을 바탕으로 파이썬에서 트리의 지름을 구하는 코드를 구현해 보겠습니다.
아랫부분에 제공하는 코드와 함께 각 단계의 세부 과정을 점검해 보세요.

from collections import defaultdict

def dfs(graph, node, visited):
    visited.add(node)
    max_distance = 0
    farthest_node = node

    for neighbor in graph[node]:
        if neighbor not in visited:
            distance, next_node = dfs(graph, neighbor, visited)
            distance += 1
            
            if distance > max_distance:
                max_distance = distance
                farthest_node = next_node

    return max_distance, farthest_node

def tree_diameter(edges, n):
    graph = defaultdict(list)
    
    for a, b in edges:
        graph[a].append(b)
        graph[b].append(a)

    # Step 1: start DFS from an arbitrary node (1)
    visited = set()
    _, farthest_node = dfs(graph, 1, visited)

    # Step 2: start DFS from the farthest node found
    visited.clear()
    diameter, _ = dfs(graph, farthest_node, visited)

    return diameter

# Input reading part
n = int(input())
edges = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(n-1)]
print(tree_diameter(edges, n))

    

코드 설명

위의 코드는 다음과 같은 방식으로 구성되어 있습니다:

• collections.defaultdict를 사용하여 그래프를 인접 리스트 형태로 만듭니다.
  이 때 노드끼리의 연결관계를 나타냅니다.
• dfs 함수는 깊이 우선 탐색을 수행하며, 각 노드까지의 거리를 계산합니다.
  가장 먼 노드와 거리를 반환합니다.
• tree_diameter 함수는 전체적인 과정을 조정하고 두 번의 DFS 호출로 지름을 계산합니다.
• 마지막 부분에서 사용자로부터 입력을 받고, tree_diameter 함수를 호출하여 결과를 출력합니다.

성능 분석

제시된 알고리즘은 O(N)의 시간 복잡도를 갖고 있습니다.
이는 트리의 모든 노드를 DFS로 한 번씩 방문하기 때문에 가능합니다.
따라서 매우 큰 트리에서도 효율적으로 지름을 계산할 수 있습니다.

결론

이번 강좌에서는 트리의 지름에 대해 살펴보았습니다.
DFS를 이용한 접근법으로 효율적으로 문제를 해결할 수 있었습니다.
트리는 다양한 문제에서 활용되기 때문에 이번 강좌의 내용을 잘 익혀두면 좋습니다.
추가적인 질문이나 연습문제가 필요하다면 댓글로 남겨주세요.