[작성자:] root

이 블로그 포스트에서는 Python을 사용하여 이항계수를 구하는 방법에 대해 자세히 알아보겠습니다.
이항계수는 조합론에서 중요한 개념으로, 주어진 n개의 원소 중에서 r개의 원소를 선택하는 방법의 개수를 의미합니다.
이항계수는 다음과 같은 수식으로 정의됩니다.

이항계수의 정의

이항계수 C(n, r)는 다음과 같이 정의됩니다:

C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)

여기에서 n!은 n의 팩토리얼을 의미하며, n부터 1까지의 모든 자연수의 곱입니다.
예를 들어, 5!는 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120입니다. 이항계수는 조합의 수를 계산하는 데 매우 유용합니다.

문제 설명

주어진 정수 n과 r에 대해 이항계수 C(n, r)를 계산하는 함수를 작성하세요.
n은 0 이상, r은 0 이상 n 이하의 정수로 주어집니다.

입력 형식

첫 번째 줄에 두 개의 정수 n과 r이 공백으로 구분되어 주어집니다.

출력 형식

이항계수 C(n, r)을 출력합니다.

예제 입력/출력

입력:
5 2
출력:
10

문제 해결 방법

이 문제를 해결하기 위한 여러 가지 접근 방법이 있습니다. 가장 직관적인 방법은 수학적 정의를 이용하여 팩토리얼을 직접 계산하는 것입니다.
그러나 팩토리얼을 직접 계산하는 방법은 큰 n에 대해 비효율적일 수 있습니다.
따라서 이 문제를 더 효율적으로 해결하기 위해 다이나믹 프로그래밍(DP) 접근 방식을 사용해 보겠습니다.

다이나믹 프로그래밍을 이용한 이항계수 계산

이항계수의 성질 중 하나는 다음과 같습니다:

C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)

위의 식을 사용하면 C(n, r)을 이전의 이항계수로 분해할 수 있습니다.
이 방식은 아래와 같은 DP 테이블 형태로 구현할 수 있습니다.

DP 테이블 생성 방법

dp[i][j]를 C(i, j)로 정의합니다. 다음과 같은 규칙을 적용하여 모든 이항계수를 구할 수 있습니다:

• dp[i][0] = 1 (모든 i에 대해)
• dp[i][i] = 1 (모든 i에 대해)
• 그 외 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j] (0 < j < i)

파이썬 구현

아래는 이항계수를 계산하는 파이썬 코드입니다:

def binomial_coefficient(n, r):
    # 2D DP 테이블 초기화
    dp = [[0] * (r + 1) for _ in range(n + 1)]

    # DP 테이블 채우기
    for i in range(n + 1):
        for j in range(min(i, r) + 1):
            if j == 0 or j == i:
                dp[i][j] = 1
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]

    return dp[n][r]

# 예시 호출
n, r = map(int, input().split())
print(binomial_coefficient(n, r))

시간 복잡도 분석

위의 알고리즘은 O(n * r)의 시간 복잡도를 가지고 있습니다.
중첩된 두 개의 for 루프가 있기 때문에, 최악의 경우에는 모든 n과 r의 값을 다루게 됩니다.
그러나 작은 범위의 n과 r에 대해서는 매우 빠르게 동작할 수 있습니다.
이 알고리즘은 이항계수를 효과적으로 계산할 수 있는 좋은 방법입니다.

결론

이 포스트에서는 이항계수 C(n, r)를 구하는 다양한 방법을 알아보았습니다.
전통적인 팩토리얼을 이용한 방법에서부터 다이나믹 프로그래밍을 활용한 방법까지,
각 접근 방식의 장단점을 살펴보았습니다.
코딩 테스트에서 이항계수 문제는 매우 흔하게 등장하는 문제 유형이므로,
본 내용을 잘 숙지하시기 바랍니다.

작성자: 조광형 | 날짜: 2024년 11월 26일

1. 이항계수란?

이항계수는 조합론에서 두 개의 정수 n,k에 대해 정의됩니다. n개 중에서 k개를 선택하는
방법의 수를 나타내며, 표기법은 C(n, k) 또는 (n choose k)입니다. 이항계수는
다음과 같이 계산됩니다:

• C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

여기서 n!은 n의 팩토리얼로, n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 1입니다.
이항계수는 조합 문제를 해결할 때 매우 유용하게 사용됩니다.

2. 문제 설명

문제: 주어진 n과 k에 대해 이항계수 C(n, k)를 계산하는 함수를 작성하시오.
n은 0부터 30까지의 정수이고, k는 0부터 n까지의 정수이다.

3. 문제 해결 접근법

이 문제는 이항계수를 계산하기 위한 여러 가지 방법이 있습니다.
우리는 재귀, 동적 프로그래밍, 또는 수학 공식을 이용한 방법 등을 사용하여 해결할 수 있습니다.
여기에서는 동적 프로그래밍(Dynamic Programming) 방식을 사용하여 문제를 해결할 것입니다.

3.1 동적 프로그래밍(Dynamic Programming)

동적 프로그래밍은 문제를 작은 하위 문제로 나누고, 이 하위 문제의 결과를
저장하여 이후 문제에 재사용하는 방식입니다. 이항계수는 다음의 점화식을
활용하여 계산할 수 있습니다:

• C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)
• 기본 경우: C(n, 0) = C(n, n) = 1

위의 점화식에서 각각의 경우에 대해 이항계수를 재귀적으로 구할 수 있지만
중복 계산이 발생하게 됩니다. 이를 피하기 위해 DP 테이블을 사용하여 강의를
진행하겠습니다.

4. 구현

이제 이항계수를 계산하기 위한 파이썬 함수의 코드를 작성해보겠습니다.
DP 테이블을 사용하여 이항계수를 구하는 방식을 구현할 것입니다.

def binomial_coefficient(n, k):
    # DP 테이블 초기화
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]

    # 기본 경우 설정
    for i in range(n + 1):
        dp[i][0] = 1  # C(i, 0) = 1
        dp[i][i] = 1  # C(i, i) = 1

    # 점화식에 따라 DP 테이블을 채움
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, min(i, k) + 1):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1]

    return dp[n][k]

            

위의 코드에서, 주어진 n과 k에 대해 DP 테이블을 초기화하고 기본 경우를 설정한 뒤
점화식을 통해 DP 테이블을 채워나갑니다.
결과적으로 dp[n][k]에 이항계수가 저장됩니다.

5. 테스트

위에서 구현한 함수를 테스트해볼 차례입니다. C(5, 2)와 같은 간단한 예제를 사용하여
함수의 정확성을 검증해보겠습니다.

# 테스트
print(binomial_coefficient(5, 2))  # 출력: 10
print(binomial_coefficient(30, 15))  # 출력: 155117520

            

이와 같이 함수를 호출하여 이항계수를 계산하고 그 결과를 출력할 수 있습니다.
위의 입력값에 대한 결과가 맞는지를 확인해보세요.

6. 결론

이번 강좌를 통해 이항계수의 정의와 계산 방법에 대해 알아보았습니다.
동적 프로그래밍을 통해 효율적으로 이항계수를 계산할 수 있는 방법을 배웠습니다.
파이썬을 사용하여 구현하는 과정 또한 자세히 살펴보았습니다.
이 알고리즘은 실제 코딩 테스트 및 알고리즘 문제 해결에서 자주 사용되므로,
잘 익혀두시기 바랍니다.

추가적으로, 이항계수와 관련된 고급 문제들을 풀어보며 실력을 더욱 단련해보세요.
감사합니다.

이진 트리는 컴퓨터 사이언스와 알고리즘에서 기본적인 자료 구조 중 하나로, 많은 문제에서 중요한 역할을 합니다. 이진 트리를 이해하고 문제를 해결할 수 있는 능력은 코딩 인터뷰에서 매우 중요하게 평가됩니다. 이번 글에서는 이진 트리와 관련된 문제 하나를 선정하여, 문제 설명과 풀이 과정을 자세히 살펴보도록 하겠습니다.

문제: 이진 트리의 최대 깊이

주어진 이진 트리의 최대 깊이를 찾는 함수를 작성하시오. 이진 트리의 깊이는 루트 노드에서 가장 깊은 리프 노드까지의 경로에 있는 노드의 수입니다. 예를 들어, 다음과 같은 이진 트리가 있다고 가정해봅시다.

      1
     / \
    2   3
   / \
  4   5

이 경우, 이진 트리의 최대 깊이는 3입니다(노드 1 → 노드 2 → 노드 4 또는 노드 5). 함수의 시그니처는 다음과 같습니다:

def maxDepth(root: TreeNode) -> int:

문제 정의

입력으로 주어지는 매개변수 root는 이진 트리의 루트 노드입니다. 이 노드는 각 노드가 좌측 및 우측 자식 노드를 가리키는 포인터를 가지는 TreeNode 클래스의 인스턴스로 정의됩니다. 이진 트리가 비어 있는 경우, 깊이는 0입니다.

입력 예시

      1
     / \
    2   3
   / \
  4   5

maxDepth(root)를 호출할 경우, 반환 값은 3이어야 합니다.

출력 예시

3

문제 풀이 접근 방법

이 문제를 해결하기 위한 접근 방법으로는 Depth-First Search (DFS) 방법을 사용할 수 있습니다. DFS 방법을 사용하여 트리의 노드를 탐색하며 각 노드에서 리프 노드까지의 깊이를 재귀적으로 계산할 수 있습니다.

1단계: TreeNode 클래스 정의

먼저, 이진 트리의 노드를 정의하는 TreeNode 클래스를 작성해야 합니다. 각 노드는 값(value)과 좌측 자식(left), 우측 자식(right) 노드를 가집니다.

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

2단계: 최대 깊이에 대한 재귀 함수 정의

최대 깊이를 계산하기 위한 재귀 함수를 정의합니다. 재귀 호출을 사용하여 각 서브트리의 깊이를 구하고 그 중 최대 값을 선택합니다.

def maxDepth(root: TreeNode) -> int:
    # 기저 사례: 노드가 None인 경우, 깊이는 0
    if not root:
        return 0
    # 좌측 및 우측 서브트리의 깊이를 계산
    left_depth = maxDepth(root.left)
    right_depth = maxDepth(root.right)
    # 현재 노드를 포함하여 최대 깊이를 반환
    return max(left_depth, right_depth) + 1

3단계: 최종 함수 구현

이제 완전한 maxDepth 함수를 구현하였습니다. 이 함수는 주어진 이진 트리의 ‘최대 깊이’를 반환합니다.

4단계: 시간 복잡도 및 공간 복잡도 분석

이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n)입니다. 여기서 n은 이진 트리에 있는 노드의 수입니다. 모든 노드를 한번씩 방문하기 때문에, 트리의 크기에 비례한 시간 복잡도를 가집니다. 공간 복잡도는 O(h)입니다. h는 트리의 높이로, 최악의 경우에는 O(n)의 공간 복잡도를 가질 수 있으며, 균형 이진 트리에서는 O(log n)이 됩니다.

테스트 케이스

작성한 함수를 검증하기 위해 몇 가지 테스트 케이스를 작성해보겠습니다.

# 테스트 케이스 
def test_maxDepth():
    # 테스트 케이스 1
    root1 = TreeNode(1, TreeNode(2, TreeNode(4), TreeNode(5)), TreeNode(3))
    assert maxDepth(root1) == 3, "Test case 1 failed"
    
    # 테스트 케이스 2
    root2 = TreeNode(1)
    assert maxDepth(root2) == 1, "Test case 2 failed"
    
    # 테스트 케이스 3: 비어 있는 트리
    root3 = None
    assert maxDepth(root3) == 0, "Test case 3 failed"
    
    # 테스트 케이스 4
    root4 = TreeNode(1, TreeNode(2))
    assert maxDepth(root4) == 2, "Test case 4 failed"
    
    print("All test cases passed!")

test_maxDepth()

결론

이번 글에서는 이진 트리의 최대 깊이를 구하는 문제를 소개하고 그 해결 방법을 자세히 설명하였습니다. 이진 트리와 관련된 문제는 매우 다양하므로, 다양한 문제를 접하며 연습하는 것이 중요합니다. Algorithm Challenge와 같은 문제를 통해 실력을 더욱 향상시킬 수 있을 것입니다. 이진 트리의 개념과 DFS 탐색의 기본 원리를 이해하는 것은 코딩테스트에서 큰 도움이 됩니다. 앞으로도 더욱 다양한 알고리즘 문제를 풀어보며 실력을 기르시기를 바랍니다.

안녕하세요! 이번 강좌에서는 이친수를 구하는 알고리즘 문제를 다루어 보겠습니다. 이친수란 0과 1로 이루어진 수 중에서 두 개의 1이 연속해서 나타나지 않는 수를 말합니다. 예를 들어, 3자리의 이친수는 000, 001, 010, 100, 101, 110로, 총 6개가 존재합니다.

문제 설명

주어진 정수 N에 대하여, N자리 이친수를 모두 구하고 그 개수를 출력하는 문제를 해결하겠습니다.

문제

N을 입력받아 N자리 이친수를 모두 구하고 그 개수를 출력하라.

예시 입력

N = 3

예시 출력

6

문제 접근 방법

이 문제를 해결하기 위해서는 두 가지 접근 방법이 있습니다. 첫 번째는 재귀를 이용한 DFS(Depth-First Search)를 사용한 방법이고, 두 번째는 동적 프로그래밍(Dynamic Programming)을 이용한 방법입니다. 각 방법을 자세히 살펴보도록 하겠습니다.

1. 재귀 DFS를 이용한 방법

재귀를 사용하는 방법은, 이친수를 생성하기 위해 다음의 두 가지 규칙을 따릅니다:

• 현재 자리의 숫자가 0이라면 다음 자리에 0 또는 1을 모두 배치할 수 있습니다.
• 현재 자리의 숫자가 1이라면 다음 자리에 0만 배치할 수 있습니다.

이 규칙에 따라서 이친수를 생성하는 재귀 함수를 작성할 수 있습니다. 다음은 그 구현입니다:

def count_ichin(N, current_sequence, last_digit):
    if len(current_sequence) == N:
        return 1

    count = 0
    if last_digit == 0:
        count += count_ichin(N, current_sequence + '0', 0)
        count += count_ichin(N, current_sequence + '1', 1)
    else:
        count += count_ichin(N, current_sequence + '0', 0)

    return count

N = 3
result = count_ichin(N, '', 0)
print(result)

위 코드는 이친수를 생성하기 위한 재귀함수 count_ichin()을 정의하였고, 초기값으로 N과 빈 문자열을 전달합니다. 마지막 자리 숫자는 0으로 시작합니다.

2. 동적 프로그래밍을 이용한 방법

이친수를 구할 때, 동적 프로그래밍을 사용하면 메모이제이션을 통해 보다 효율적으로 문제를 해결할 수 있습니다. 이친수(I(n))의 개수는 다음과 같은 점화식으로 정의할 수 있습니다:

I(n) = I(n-1) + I(n-2)

이 식의 의미는 다음과 같습니다:

• n-1의 자리에 0을 둘 경우: 이친수의 개수는 I(n-1)이다.
• n-2의 자리에 10을 둘 경우: 이 친수의 개수는 I(n-2)이다.

이제 이 점화식을 바탕으로 동적 프로그래밍을 구현하겠습니다:

def find_ichin_count(N):
    if N == 1:
        return 1
    elif N == 2:
        return 1

    dp = [0] * (N + 1)
    dp[1] = 1
    dp[2] = 1

    for i in range(3, N + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

    return dp[N]

N = 3
result = find_ichin_count(N)
print(result)

위 코드를 통해, 이친수를 구하는 동적 프로그래밍 방식도 효율적으로 구현되었습니다.

비교 및 선택

재귀 방식은 이해하기 쉬우나, 큰 N 값에 대해서는 비효율적일 수 있습니다. 반면, 동적 프로그래밍 방식은 메모리를 사용하여 이전 계산 결과를 재사용하기 때문에 성능이 좋습니다. 일반적으로 N 값이 클 경우 동적 프로그래밍을 사용하는 것이 좋습니다.

결론

이번 강좌에서는 이친수 구하기 문제에 대해 다루어 보았습니다. 재귀와 동적 프로그래밍 두 가지 방법을 통해 이친수를 구하는 방법을 배웠습니다. 이 문제를 통해 알고리즘 문제 해결 능력을 키울 수 있기를 바랍니다.

감사합니다!

이 기사에서는 이분 그래프(Bipartite Graph)의 개념과 이를 판별하기 위한 알고리즘 문제를 다루겠습니다.
이분 그래프는 노드를 두 개의 집합으로 나눌 수 있는 그래프를 의미하며, 인접한 두 노드가 같은 집합에 속하지 않도록 할 수 있는지의 여부를 확인하는 것이 핵심입니다.

문제 설명

주어진 정점과 간선으로 이루어진 그래프의 이분 그래프 여부를 판별하는 문제를 해결해 보겠습니다.
구체적으로, 이 문제는 다음과 같은 입력을 받을 것입니다.

• 첫 번째 줄: 정점의 수 n과 간선의 수 m이 공백으로 구분되어 주어집니다.
• 다음 m개의 줄: 각 간선이 연결하는 두 정점 u와 v가 주어집니다.

출력으로는 주어진 그래프가 이분 그래프라면 YES, 아니라면 NO를 출력합니다.

예시 입력 1

3 3
1 2
2 3
1 3

예시 출력 1

NO

예시 입력 2

3 2
1 2
2 3

예시 출력 2

YES

문제 풀이 과정

1. 이분 그래프의 정의 이해하기

이분 그래프는 각 노드를 두 개의 그룹으로 나누었을 때, 같은 그룹의 노드끼리는 연결되지 않도록 할 수 있는 그래프입니다.
이러한 그래프는 일반적으로 이분색칠 가능성으로 판별할 수 있습니다.

즉, 어떤 노드를 색칠할 때, 인접한 노드들은 반대색으로 색칠되도록 하여 마지막까지 같은 색으로 색칠된 노드가 없으면 이분 그래프입니다.

2. 그래프 표현 방법

주어진 그래프를 표현하기 위해 인접 리스트를 사용할 것입니다. 각 정점에 대해 그 정점과 연결된 정점의 리스트를 유지합니다.
파이썬에서는 딕셔너리를 사용하여 그래프를 손쉽게 구성할 수 있습니다.

파이썬 코드 예시 (그래프 구성)

def create_graph(n, edges):
    graph = {i: [] for i in range(1, n + 1)}
    for u, v in edges:
        graph[u].append(v)
        graph[v].append(u)
    return graph

3. BFS 또는 DFS를 이용한 색칠하기

그래프를 탐색하기 위해 BFS나 DFS 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 우리는 BFS 방식을 사용하여 이분 그래프 여부를 판별해보겠습니다.

BFS의 기본 아이디어는 시작 노드를 임의의 색으로 색칠하고, 인접한 모든 노드를 반대 색으로 색칠하며 진행하는 것입니다.
만약 어떤 인접한 노드가 이미 색칠되어 있고, 현재 색칠하려는 색과 같다면 이분 그래프가 아닙니다.

파이썬 코드 예시 (BFS 색칠하기)

from collections import deque

def is_bipartite(graph, n):
    color = {}
    for node in range(1, n + 1):
        if node not in color:
            queue = deque([node])
            color[node] = 0  # 시작 노드를 색칠

            while queue:
                current = queue.popleft()

                for neighbor in graph[current]:
                    if neighbor not in color:
                        color[neighbor] = 1 - color[current]  # 반대 색칠
                        queue.append(neighbor)
                    elif color[neighbor] == color[current]:
                        # 같은 색이면 이분 그래프가 아님
                        return False
    return True

4. 전체 프로그램 구현

이제 그래프를 구성하고, 이분 그래프 판별 로직을 통합하여 전체 프로그램을 완성하겠습니다.

def main():
    n, m = map(int, input().split())
    edges = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(m)]

    graph = create_graph(n, edges)
    
    if is_bipartite(graph, n):
        print("YES")
    else:
        print("NO")

if __name__ == "__main__":
    main()

마무리

이번 글에서는 이분 그래프의 개념과 이를 판별하는 알고리즘 문제를 다루어 보았습니다.
BFS를 통해 효율적으로 이분 그래프를 판별할 수 있는 방법을 설명하였고, 파이썬 코드 예시를 통해 좀 더 실용적인 접근 방법을 살펴보았습니다.

앞으로도 다양한 알고리즘 주제를 다룰 예정이니, 계속해서 관심 가져주시기 바랍니다. 감사합니다!