[작성자:] root

안녕하세요! 오늘은 취업 준비생들에게 매우 유용한 알고리즘 문제인 ‘오큰수 구하기’를 소개하고 자세히 설명하는 시간을 가지겠습니다. 이 문제는 스택(Stack)의 개념을 이해하고 활용하는 데 큰 도움이 될 것입니다. 그럼 시작해볼까요?

문제 설명

문제 설명: 주어진 배열에서 각 원소에 대해 “오큰수”를 구하는 문제입니다. “오큰수”는 해당 원소의 오른쪽에 있는 원소 중에서 가장 첫 번째로 크기가 큰 원소를 의미합니다. 만약 그러한 원소가 존재하지 않으면 -1로 표시합니다.

입력: 첫 번째 줄에 자연수 N(1 ≤ N ≤ 1,000,000)이 주어지고, 두 번째 줄에는 N개의 자연수 A₁, A₂, …, A_N (1 ≤ A_i ≤ 1,000,000)이 주어집니다.

출력: 각 원소에 대한 오큰수를 한 줄에 하나씩 출력합니다.

예제

입력:

5
2 1 3 4 5

출력:

3
3
4
5
-1

문제 해결 전략

문제를 해결하기 위한 가장 효과적인 방법 중 하나는 스택을 이용하는 것입니다. 스택은 LIFO(Last In, First Out) 구조의 자료구조로, 문제를 해결하는 데 유용하게 사용될 수 있습니다.

스택을 이용한 접근 방법

1. 비어 있는 스택을 하나 생성합니다.
2. 주어진 배열을 오른쪽부터 왼쪽으로 탐색하면서 각 원소에 대해 다음을 수행합니다:
1. 현재 원소와 스택의 최상단 원소를 비교합니다.
2. 스택의 최상단 원소가 현재 원소보다 크면, 그 원소가 오큰수입니다. 현재 원소에 오큰수를 저장합니다.
3. 스택의 최상단 원소가 현재 원소보다 작거나 스택이 비어있으면 스택에서 원소를 pop합니다.
4. 현재 원소를 스택에 추가합니다.
3. 모든 원소를 탐색한 후, 오큰수가 저장된 결과 배열을 출력합니다.

코드 구현

이제 위의 알고리즘을 파이썬 코드로 구현해보겠습니다.

def find_next_greater_element(arr):
    n = len(arr)
    result = [-1] * n  # 오큰수를 저장할 결과 배열
    stack = []  # 스택 생성

    # 배열을 오른쪽부터 왼쪽으로 탐색
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        # 스택의 최상단 원소와 비교
        while stack and stack[-1] <= arr[i]:
            stack.pop()  # 스택에서 pop
        
        # 스택이 비어있지 않다면 오큰수 기록
        if stack:
            result[i] = stack[-1]
        
        # 현재 원소를 스택에 추가
        stack.append(arr[i])

    return result

# 입력 처리
n = int(input())
arr = list(map(int, input().split()))

# 오큰수 구하기
result = find_next_greater_element(arr)

# 결과 출력
for r in result:
    print(r)

코드 설명

위 코드는 주어진 배열에서 각 원소의 오큰수를 찾는 함수입니다. 함수는 다음과 같은 과정을 따릅니다:

1. 입력으로 받은 배열의 길이를 구하고, 결과를 저장할 배열을 초기화합니다.
2. 주어진 배열을 오른쪽부터 왼쪽으로 순회합니다.
3. 현재 원소와 비교하기 위해 스택의 최상단 원소를 확인합니다.
4. 스택의 최상단 원소가 현재 원소보다 작거나 같으면 스택에서 pop합니다. 이렇게 해서 스택에는 항상 현재 원소보다 큰 값만 남게 됩니다.
5. 스택이 비어 있지 않다면, 스택의 최상단 원소가 현재 원소의 오큰수가 됩니다. 이것을 결과 배열에 기록합니다.
6. 현재 원소를 스택에 추가합니다.

복잡도 분석

시간 복잡도는 O(N)입니다. 각 원소는 스택에 한 번 추가되고 한 번 제거되므로, 전체적으로 N번의 연산이 필요합니다. 공간 복잡도는 O(N)으로 결과 배열과 스택을 저장하는 데 필요한 공간을 고려해야 합니다.

결과 예시

이제 코드의 일부 테스트 케이스를 확인해보겠습니다. 위에서 제시한 예제를 사용하여 오큰수를 구해보겠습니다.

# 입력 예제
# 5
# 2 1 3 4 5

print(find_next_greater_element([2, 1, 3, 4, 5]))  # 출력: [3, 3, 4, 5, -1]

결론

이번 시간에는 ‘오큰수 구하기’ 문제를 해결하는 과정을 살펴보았습니다. 스택을 사용하여 효율적으로 문제를 해결하고, 실제 코드를 통해 그 원리를 적용해 보았습니다. 이러한 방식의 문제 해결은 실제 코딩 테스트와 알고리즘 면접에서 매우 유용하니 꼭 연습해 보시기 바랍니다.

다음 시간에는 또 다른 알고리즘 문제를 가지고 찾아오겠습니다. 감사합니다!

안녕하세요, 여러분! 이번 강좌에서는 외판원의 순회 문제(TSP, Traveling Salesman Problem)를 해결하는 알고리즘을 구현하는 방법에 대해 자세히 알아보겠습니다. TSP는 주어진 도시를 최소 비용으로 모두 순회한 후, 다시 시작했던 도시에 돌아오는 경로를 찾는 문제입니다. 이 문제는 고전적인 조합 최적화 문제 중 하나로, 여러 가지 접근 방법이 있습니다.

1. 문제 설명

주어진 N개의 도시가 있고, 각 도시 간의 이동 비용이 주어졌을 때, 모든 도시를 한 번씩 방문하고 시작한 도시로 돌아오는 최소 비용 경로를 구하는 것이 목표입니다. 이 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 입출력 형식을 사용합니다.

입력

• 첫째 줄에는 도시의 개수 N (1 ≤ N ≤ 10)이 주어집니다.
• 둘째 줄부터 N개의 줄에 걸쳐 N x N 크기의 인접 행렬이 주어지며, 인접 행렬의 i행 j열의 값은 도시 i에서 도시 j로 가는 비용을 나타냅니다. 만약 두 도시 간의 이동이 불가능하다면, 그 비용은 0입니다.

출력

• 모든 도시를 방문하고 다시 시작 도시로 돌아오는 최소 비용을 출력합니다.

2. 문제 해결 과정

문제를 해결하기 위해 다양한 알고리즘이 존재하지만, 여기서는 DFS(Depth-First Search)와 메모이제이션(Memoization) 기법을 사용한 접근 방식을 설명하겠습니다. 다음은 문제를 해결하는 단계입니다.

Step 1: 문제 이해하기

TSP 문제를 해결하기 위해서는 모든 가능한 경로를 찾아야 합니다. 완전 탐색을 통해 모든 경우의 수를 따져 최소 비용을 계산할 수 있지만, 도시의 수가 증가할수록 경우의 수는 기하급수적으로 증가하므로 효율적인 방법이 필요합니다.

Step 2: 비트 마스크로 방문 도시 기록하기

비트 마스크를 사용하여 각 도시의 방문 여부를 기록할 수 있습니다. 예를 들어, 4개의 도시가 있을 경우, 각 도시를 비트로 표현하여 0b0000에서 0b1111까지의 경우를 만들 수 있습니다. 이 방법을 통해 각 도시를 방문했는지 여부를 간편하게 확인할 수 있습니다.

Step 3: DFS 및 메모이제이션 구현하기

DFS를 이용하여 모든 경로를 탐색하면서 비용을 계산하되, 이미 계산한 경로는 저장하여 중복 계산을 피하는 메모이즈 기법을 활용합니다. 아래는 이를 구현한 파이썬 코드입니다:

from sys import maxsize

def tsp(curr_city, visited, n, cost_matrix, memo):
    if visited == (1 << n) - 1:  # All cities visited
        return cost_matrix[curr_city][0] or maxsize  # Return to starting city or maxsize if not possible

    if memo[curr_city][visited] != -1:
        return memo[curr_city][visited]  # Return already computed cost

    min_cost = maxsize
    for city in range(n):
        if visited & (1 << city) == 0:  # City not visited
            new_cost = cost_matrix[curr_city][city] + tsp(city, visited | (1 << city), n, cost_matrix, memo)
            min_cost = min(min_cost, new_cost)

    memo[curr_city][visited] = min_cost
    return min_cost

def solve_tsp(n, cost_matrix):
    memo = [[-1] * (1 << n) for _ in range(n)]
    return tsp(0, 1, n, cost_matrix, memo)  # Start from city 0 with only city 0 visited

# Example usage
if __name__ == "__main__":
    n = 4  # Number of cities
    cost_matrix = [
        [0, 10, 15, 20],
        [10, 0, 35, 25],
        [15, 35, 0, 30],
        [20, 25, 30, 0]
    ]
    result = solve_tsp(n, cost_matrix)
    print(f"Minimum cost: {result}")
    

Step 4: 코드 설명

위 코드는 다음과 같은 주요 함수로 구성됩니다:

• tsp(curr_city, visited, n, cost_matrix, memo): 현재 도시, 방문한 도시의 비트마스크, 도시의 수, 비용 행렬, 그리고 메모이제이션을 위한 리스트를 매개변수로 받아, 최소 비용을 계산합니다.
• solve_tsp(n, cost_matrix): 메모이제이션 리스트를 초기화하고 TSP 기능을 수행합니다.

Step 5: 시간 복잡도 분석

위 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n^2 * 2^n)입니다. 여기서 n은 도시의 개수, 2^n는 모든 비트마스크 조합의 수입니다. 따라서 도시의 개수가 많아질수록 계산량이 급격히 증가할 수 있으므로, 실제 문제에서는 도시 개수를 10개 이하로 제한합니다.

3. 결론

이번 강좌에서는 외판원의 순회 문제(TSP)에 대한 개념 및 알고리즘 구현 방법에 대해 알아보았습니다. TSP 문제는 다양한 문제 해결 기법을 활용할 수 있는 좋은 예제이며, 깊은 이해를 통해 다른 알고리즘 문제에도 적용할 수 있는 사고를 기르는데 도움이 됩니다.

코딩 테스트에서 TSP와 관련된 문제를 만나게 될 경우, 위와 같은 방식으로 접근해 보시면 좋을 것입니다. 이제 여러분이 이 문제를 독립적으로 해결할 수 있도록 더욱 연습하시기 바랍니다. 감사합니다!

안녕하세요! 오늘은 파이썬으로 오일러 피 함수(Euler’s Totient Function)를 구현하는 방법을 알아보겠습니다. 이 글에서는 오일러 피 함수의 정의와 성질을 살펴보고, 효율적으로 구현하는 방법에 대해 단계적으로 설명할 것입니다.

1. 오일러 피 함수란?

오일러 피 함수 φ(n)은 1과 n 사이의 정수 중에서 n과 서로소인 수의 개수를 나타내는 함수입니다. 즉, φ(n)은 n과 공약수를 가지지 않는 수의 수를 의미합니다. 예를 들어:

• φ(1) = 1 (1은 자신만과 서로소)
• φ(2) = 1 (1만이 2와 서로소)
• φ(3) = 2 (1, 2가 3과 서로소)
• φ(4) = 2 (1, 3이 4와 서로소)
• φ(5) = 4 (1, 2, 3, 4가 5와 서로소)

2. 오일러 피 함수의 성질

오일러 피 함수는 몇 가지 중요한 성질을 가지고 있습니다:

• 만약 n이 소수 p라면, φ(p) = p – 1
• 만약 n이 소수의 거듭제곱 p^k라면, φ(p^k) = p^k(1 – (1/p))
• n이 두 정수 a와 b의 곱이라면, φ(ab) = φ(a) * φ(b) * (1 – (1/gcd(a,b)))

2.1 예시

주어진 수 n의 오일러 피 함수 값 φ(n)을 구해야 한다면, n의 소인수를 찾아야 합니다. 예를 들어 n = 12이 주어진 경우, 소인수는 2와 3이며, 이 두 소수에 대한 φ 값을 사용하여 φ(12)를 계산할 수 있습니다.

3. 오일러 피 함수 구현 방법

지금부터 φ(n)을 효율적으로 구현하는 방법을 알아보겠습니다. 기본적인 접근 방식은 각각의 수를 확인해서 서로소인 수의 개수를 세는 것인데, 이는 비효율적이므로 개선할 필요가 있습니다.

3.1 에라토스테네스의 체 방식

오일러 피 함수를 효율적으로 구현하는 방법 중 하나는 에라토스테네스의 체(Sieve of Eratosthenes)의 개념을 사용하는 것입니다. 다음은 φ(n)을 계산하는 로직입니다:

def euler_totient(n):
    # 1부터 n까지의 페어 배열 초기화
    phi = list(range(n + 1))
    
    # 에라토스테네스의 체를 사용하여 오일러 피 함수 값 계산
    for i in range(2, n + 1):
        if phi[i] == i:  # i가 소수일 경우
            for j in range(i, n + 1, i):
                phi[j] *= (i - 1)
                phi[j] //= i
    return phi

3.2 코드 분석

위의 코드는 다음과 같이 작동합니다:

1. φ 배열을 1부터 n까지 초기화합니다. 즉, φ[i]는 처음에는 i로 설정됩니다.
2. 2부터 n까지의 모든 수 i에 대해, i가 소수인지 확인합니다. 이 경우, φ 배열을 업데이트합니다.
3. j는 i의 배수로 설정하여 해당 배수의 φ 값을 갱신합니다.

4. 시간 복잡도 분석

이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n log log n)입니다. 이는 에라토스테네스의 체와 유사하여, 매우 효율적으로 φ(n)을 계산할 수 있습니다. 작은 n의 경우에만 이 알고리즘을 사용하실 수 있으나, 큰 n의 경우에도 충분히 빠른 성능을 유지합니다.

5. 예제

다음은 이 알고리즘을 사용하여 n = 10까지의 오일러 피 값을 계산하고 출력하는 예제입니다:

if __name__ == "__main__":
    n = 10
    result = euler_totient(n)
    print(f"n = {n} 까지의 오일러 피 함수 값: {result[1:]}")

5.1 출력 예시

n = 10 까지의 오일러 피 함수 값: [1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 4]

6. 결론

이번 글에서는 오일러 피 함수의 정의, 성질, 구현 방법에 대해 알아보았습니다. 고전적인 방식 대신 에라토스테네스의 체를 활용하면 효율적으로 φ(n)을 구할 수 있다는 점이 인상적입니다. 앞으로 다른 알고리즘과 자료구조를 배우면서 더 복잡한 문제들도 해결해 나가길 바랍니다.

7. 참고 자료

• 위키백과: 오일러 피 함수
• Brilliant.org: 오일러 피 함수

지금까지 함께 해주셔서 감사합니다! 다음 시간에도 더 유익한 알고리즘 강좌로 찾아뵙겠습니다.

문제 설명

오일러의 피 함수(Euler’s totient function) φ(n)은 1부터 n까지의
정수 중 n과 서로소인 수의 개수를 센 함수입니다. 예를 들어,
φ(1)=1, φ(2)=1, φ(3)=2, φ(4)=2, φ(5)=4입니다.

주어진 양의 정수 n에 대해 φ(n) 값을 계산하는 코드를 작성하시오.
단, n은 1과 10^6 사이의 값입니다.

문제 해결 과정

1. 문제 이해하기

이 문제는 오일러의 피 함수의 정의를 기반으로 하며,
n과 서로소인 모든 수를 찾아야 합니다. 서로소란 두 수의
최대공약수가 1인 것을 말하며, 이 조건을 이용해
φ(n)을 구할 수 있습니다.

2. 알고리즘 설계

오일러 피 함수는 기약분수의 형태로 표현할 수 있습니다. 이를 통해 n의 소인수를 찾아
서로소의 개수를 구할 수 있습니다. n의 소인수 p에 대하여,
φ(n) = n × (1 – 1/p)입니다. n의 모든 소인수에 대해 이 식을 적용하면 됩니다.

3. 코드 구현

먼저 소인수를 찾는 함수를 구현한 후, 이를 이용해
φ(n)을 계산하는 코드를 작성하겠습니다.

def euler_totient(n):
    result = n   # 초기값은 n
    p = 2
    while p * p <= n:   # 소인수를 찾기
        if n % p == 0:   # p가 n의 소인수인지 확인
            while n % p == 0:   # p에 해당하는 소인수를 제거
                n //= p
            result -= result // p   # 서로소 개수 계산
        p += 1
    if n > 1:   # 마지막으로 남은 소인수
        result -= result // n
    return result
        

4. 예제와 테스트

φ(10)을 계산해보겠습니다. φ(10)은 5와 2의 소인수를 가집니다.
이를 통해 φ(10) = 10 × (1 – 1/2) × (1 – 1/5) = 4가 됩니다.

print(euler_totient(10))  # 출력: 4
        

5. 결론

오일러 피 함수는 수론에서 매우 중요한 개념으로,
고급 알고리즘을 구현하는 데 있어 필수적인 지식을 제공합니다.
이 문제를 통해 이러한 기반 지식을 확립할 수 있습니다.

이 글에서는 취업을 위한 알고리즘 시험 준비에 도움이 될 수 있는 ‘연속된 자연수의 합 구하기’ 문제를 다루고자 합니다. 해당 문제에 대한 이해를 돕기 위하여 문제 설명, 풀이 과정, 코드 구현 및 시간 복잡도 분석까지 자세히 살펴보겠습니다.

문제 설명

연속된 자연수의 합을 구하는 문제는 주어진 정수 N에 대하여 연속된 자연수 k, k+1, k+2, ..., k+m의 합이 N이 되는 경우의 수를 찾는 문제입니다. 여기서 k는 자연수이며, m은 0 이상의 정수입니다.

예를 들어, N = 15인 경우는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
• 4 + 5 + 6 = 15
• 7 + 8 = 15
• 15 = 15 (연속된 수가 아닌 경우)

따라서 N = 15인 경우 총 3개의 경우가 존재합니다.

문제 풀이 과정

이 문제를 해결하기 위해서는 다음과 같은 과정이 필요합니다:

1. 연속된 자연수의 합의 일반적인 식을 이해합니다.
2. k부터 시작하여 N에 도달하기 위해 m을 조정하면서 결과를 체크합니다.
3. 모든 가능한 k 값을 시도하여 조건을 충족하는 경우의 수를 센다.

1. 연속된 자연수의 합의 일반적인 식

연속된 자연수의 합은 다음과 같은 수학적 식으로 표현할 수 있습니다:

S = k + (k + 1) + (k + 2) + ... + (k + m) = (m + 1) * k + (0 + 1 + 2 + ... + m)

위의 식을 정리하면:

S = (m + 1) * k + (m * (m + 1)) / 2

우리는 이 식을 N에 맞춰 조정할 것입니다.

2. k부터 시작하여 m을 조정

이제 우리는 k의 값에 따라 N을 초과하지 않도록 m의 값을 증가시켜가며 필요한 조건을 찾아야 합니다. 이 과정을 반복하여 S = N이 되는 경우를 찾아냅니다.

3. 모든 가능한 k 값 시도

이 과정에서는 여러 비효율적인 경우를 피하도록 k의 최대값은 N의 제곱근 정도가 적절할 것입니다. 이를 통해 알고리즘의 복잡도를 줄일 수 있습니다.

코드 구현

아래는 위의 알고리즘을 바탕으로 한 파이썬 코드 예제입니다:

def count_consecutive_sum(N):
    count = 0
    # k 값의 범위 설정
    for k in range(1, N // 2 + 2):
        total = 0
        m = 0
        while total < N:
            total += k + m
            m += 1
        if total == N:
            count += 1
    return count

# 테스트
print(count_consecutive_sum(15))  # 출력: 3

코드 설명

위 코드는 주어진 정수 N에 대해 연속된 자연수의 합으로 나타내는 경우의 수를 반환합니다. k의 값을 1부터 시작해 N/2 + 2까지 반복하며, 내부에서 m 값을 증가시키며 총합을 계산합니다. 만약 총합이 N과 match 된다면 카운트를 증가시킵니다.

시간 복잡도 분석

위의 코드에서 외부 루프는 O(N)의 시간 복잡도를 가지며, 내부 루프는 매 k에 대해 약 O(N)번 반복됩니다. 따라서 전체 알고리즘의 시간 복잡도는 최악의 경우 O(N^2)가 될 수 있습니다. 그러나 k의 범위를 줄여 주면 실질적으로는 더 효율적인 실행이 가능합니다.

최적화

최적화가 가능하는 지점은 k의 최대값을 N의 제곱근으로 제한함으로써 더욱 효율적인 성능을 얻을 수 있습니다. 다음과 같이 코드를 변경할 수 있습니다:

def count_consecutive_sum_optimized(N):
    count = 0
    k = 1
    while k * (k + 1) // 2 < N:  # k의 값이 N보다 작을 때까지
        # 연속된 수의 합 계산
        total = N - (k * (k - 1) // 2)
        if total > 0 and total % k == 0:
            count += 1
        k += 1
    return count

# 테스트
print(count_consecutive_sum_optimized(15))  # 출력: 3

최적화된 코드 설명

위의 최적화된 코드는 N의 제곱근을 k의 최대값으로 설정함으로써 성능이 개선되었습니다. 또한, 반복문 내에서 total 계산을 통해 조건을 판별하였습니다. 이론적으로 이 코드는 시간 복잡도 O(sqrt(N))에 가깝게 동작하게 됩니다.