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알고리즘 문제풀이 및 시간 복잡도 이해를 위한 자세한 가이드

문제 설명

다음 코드를 기반으로 가장 긴 증가하는 부분 수열 (Longest Increasing Subsequence, LIS)을 찾는 문제를 해결해보세요.

여러 개의 숫자로 이루어진 정수 배열이 주어질 때, 이 배열에서 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이를 구하는 함수 length_of_lis(nums)를 작성하세요. 증가하는 부분 수열은 배열의 원소들이 원래 배열의 순서를 유지하며 증가하는 것을 의미합니다.

입력 예시:

nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]

출력 예시:

4  # LIS는 [2, 3, 7, 101] 또는 [10, 18] 등

문제 해결 과정

1. 시간 복잡도 이해하기

이 문제를 해결하기 위해 먼저 시간 복잡도를 고려해야 합니다. 기본적으로, 이 문제는 O(n^2) 시간 복잡도로 풀이될 수 있습니다. 하지만 O(n log n) 시간 복잡도로 해결하는 방법도 있으며, 이는 알고리즘의 효율성을 크게 향상시킬 수 있습니다.

2. 동적 프로그래밍을 활용한 풀이

가장 긴 증가하는 부분 수열을 구하는 동적 프로그래밍 접근 방식은 다음과 같습니다:

• 각 원소에 대해 LIS의 길이를 추적하는 배열 dp를 생성합니다. 초기값은 모두 1로 설정합니다 (각 원소는 자기 자신으로서 증가하는 부분 수열을 형성하기 때문).
• 각 원소를 기준으로 이전의 원소와 비교하여, 해당 원소가 더 크다면 dp[i]를 갱신합니다.
• 최종적으로 dp 배열에서 최대값을 찾으면 LIS의 길이를 구할 수 있습니다.

3. 코드 구현

아래는 Python으로 구현한 코드입니다:

def length_of_lis(nums):
    if not nums:
        return 0

    dp = [1] * len(nums)  # 각 원소는 최소 1의 길이를 가짐
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:  # 증가하는 조건
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

    return max(dp)

4. 시간 복잡도 분석

위의 동적 프로그래밍 솔루션의 시간 복잡도는 O(n²)입니다. 이는 두 개의 중첩 반복문이 있기 때문입니다. 하지만, O(n log n) 방식으로 해결할 수 있는 방법도 있습니다. 이 방법에서는 이분 탐색을 활용하여 효율성을 끌어올릴 수 있습니다.

5. O(n log n) 접근 방식

O(n log n) 접근 방식은 이분 탐색을 사용합니다. 증가하는 수열을 추적하는 리스트를 유지하고, 각 원소에 대해 해당 리스트 내에서 적절한 위치를 찾습니다:

import bisect

def length_of_lis(nums):
    lis = []
    for num in nums:
        pos = bisect.bisect_left(lis, num)  # 이분 탐색으로 삽입 위치 찾기
        if pos == len(lis):
            lis.append(num)  # 새로운 최대값 추가
        else:
            lis[pos] = num  # 기존 값 대체
    return len(lis)

6. 예제 실행 및 결과 확인

아래와 같은 예제로 함수가 제대로 작동하는지 확인해보세요:

nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]
print(length_of_lis(nums))  # 출력: 4

7. 시간 복잡도 분석

O(n log n) 방식에서, bisect.bisect_left는 로그 시간에 작동하므로 전체 시간 복잡도는 O(n log n)입니다. 이는 큰 입력에서도 빠른 응답을 제공하므로 실제 코딩 테스트에서 유용하게 사용됩니다.

결론

이 글에서 다룬 내용은 파이썬을 사용한 알고리즘 문제 해결 방법과 시간 복잡도의 개념을 포함합니다. 처음에는 동적 프로그래밍을 통해 LIS 문제를 O(n²)로 해결하는 방법을 소개했으며, 이후 O(n log n) 방식으로 효율성을 개선하는 방법도 제시했습니다. 시간 복잡도를 이해하고 활용하는 것은 알고리즘 설계에서 매우 중요합니다. 앞으로도 다양한 문제를 해결하고, 시간 복잡도를 고려하는 연습을 계속하시길 바랍니다!

안녕하세요, 여러분! 오늘은 파이썬 코딩테스트 준비에서 매우 중요한 개념인 시간 복잡도에 대해 자세히 알아보겠습니다. 알고리즘 문제를 풀이하는 데 있어 시간 효율성을 이해하는 것은 필수적입니다. 따라서 이 글에서는 시간 복잡도 표기법, 이를 활용하는 방법, 그리고 실전 문제를 통해 어떻게 적용하는지를 설명하겠습니다.

1. 시간 복잡도란?

시간 복잡도는 알고리즘이 수행되는 데 걸리는 시간을 수량화한 것입니다. 주로 입력 크기(n)에 따라 알고리즘의 실행 시간이 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 시간 복잡도를 이해하는 것은 알고리즘의 효율성을 평가하는 데 중요한 요소입니다.

2. 시간 복잡도의 표기법

시간 복잡도를 나타내는 여러 가지 표기법이 존재하는데, 가장 일반적으로 사용되는 표기법은 빅오 표기법(Big O Notation)입니다. 이 표기법은 알고리즘의 최악의 경우 실행 시간을 이해하는 데 도움을 줍니다.

2.1 빅오 표기법

빅오 표기법은 알고리즘의 상한을 나타내며, 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현할 수 있습니다:

• O(1): 상수 시간 (constant time)
• O(log n): 로그 시간 (logarithmic time)
• O(n): 선형 시간 (linear time)
• O(n log n): 선형 로그 시간 (linearithmic time)
• O(n²): 이차 시간 (quadratic time)
• O(2^n): 지수 시간 (exponential time)

각 표기법은 알고리즘이 처리할 데이터 양이 증가함에 따라 소요되는 시간이 어떻게 변하는지를 나타내므로, 알고리즘 선택 시 중요한 기준 중 하나입니다.

2.2 빅오 표기법 예시

예를 들어, 배열의 원소를 순회하여 특정 원소를 찾는 알고리즘을 생각해보겠습니다. 이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n)입니다. 배열의 크기가 커질수록 찾는 데 걸리는 시간이 선형적으로 증가하기 때문입니다.

3. 알고리즘 문제 풀이

이제 구체적인 알고리즘 문제를 풀어보겠습니다. 다음은 자주 출제되는 문제 중 하나입니다.

문제: 두 원소의 합 찾기

주어진 정수 배열 nums와 정수 target가 있을 때, nums에서 두 원소의 합이 target이 되는 두 원소의 인덱스를 찾아 반환하시오. 특정한 조건으로 각 원소는 한 번만 사용되어야 하며, 항상 정답이 존재한다고 가정합니다.

예제

    입력: nums = [2, 7, 11, 15], target = 9
    출력: [0, 1]
    설명: nums[0] + nums[1] = 2 + 7 = 9 이므로 반환합니다.
    

3.1 문제 분석

이 문제는 배열을 순회하며 각 원소와 함께 나머지 원소의 합이 target 이 되는지를 확인하는 것이 핵심입니다. O(n²)의 시간 복잡도로 해결할 수 있지만, 더 효율적인 방법이 필요합니다. 여기서 **해시 맵**을 활용하면 O(n)의 시간 복잡도로 문제를 해결할 수 있습니다.

3.2 풀이 과정

우선, 해시 맵을 사용하여 배열의 각 원소와 해당 원소의 인덱스를 저장합니다. 배열을 순회하면서 현재 원소에 대한 필요한 값을 해시 맵에서 확인하면 됩니다.

파이썬 코드 구현

def two_sum(nums, target):
    num_map = {}
    
    for index, num in enumerate(nums):
        complement = target - num
        if complement in num_map:
            return [num_map[complement], index]
        num_map[num] = index

    return []
    

위 코드는 해시 맵을 사용하여 현재 원소와 target의 차이를 확인한 후, 해당 값을 기반으로 원소의 인덱스를 반환하는 방식으로 운영됩니다. O(n)의 시간 복잡도로 효율적으로 해결할 수 있습니다.

3.3 시간 복잡도 분석

위의 솔루션은 해시 맵을 활용하여 두 개의 선형 스캔으로 실행됩니다. 따라서 시간 복잡도는 O(n)이고, 추가 공간 복잡도는 해시 맵의 크기인 O(n)입니다.

4. 결론

파이썬 코딩테스트에서 시간 복잡도는 매우 중요한 요소입니다. 알고리즘의 효율성을 평가하고 최적의 해결책을 찾아내는 데 큰 도움이 됩니다. 오늘 다룬 내용이 여러분이 알고리즘 문제를 푸는 데 있어 큰 도움이 되기를 바랍니다. 이해가 가지 않는 부분이나 추가적으로 알고 싶은 내용이 있다면 댓글로 남겨주세요!

감사합니다!

컴퓨터 과학에서 알고리즘 문제는 우리에게 문제를 해결하기 위한 효율적인 방법을 제공하는 중요한 요소입니다.
그중에서도 슬라이딩 윈도우 기법은 배열이나 문자열과 같은 선형 데이터 구조에서 특정 조건을 만족하는 연속적인 부분 배열을 찾는 데 사용됩니다.
이번 강좌에서는 슬라이딩 윈도우 기법을 활용한 문제를 한 가지 풀어보며, 이 기법이 어떤 방식으로 문제를 해결하는 데 유용한지 살펴보겠습니다.

문제 설명

주어진 정수 배열 nums와 정수 k에 대해 k의 크기를 가지는 부분 배열 중 최대 합을 가진 부분 배열의 합을 구하시오.
즉, 연속적으로 k개 요소의 합을 최대화하는 문제입니다.
예를 들어, 배열 nums = [1, 3, 2, 5, 4, 8]이고 k = 3일 때,
부분 배열 [5, 4, 8]의 합이 가장 크므로 답은 17이 됩니다.

문제 요구 사항

• 함수의 입력: 정수 배열 nums와 정수 k
• 함수의 출력: 최대 부분 배열의 합

문제 접근 방법

이 문제를 슬라이딩 윈도우 기법을 사용하여 풀면, 입력 배열을 한 번만 순회하여 시간 복잡도를 O(n)으로 줄일 수 있습니다.
본 기법의 아이디어는 두 개의 포인터를 사용하여 현재 윈도우의 시작과 끝을 조절하여, 부분 배열의 합을 계산하는 것입니다.

슬라이딩 윈도우 기법 설명

1. 초기 윈도우를 정의합니다. 포인터를 이용하여 첫 번째 k개의 요소를 선택하고 이들의 합을 계산합니다.
2. 그 후, 두 번째 윈도우로 이동하면서 윈도우의 시작 부분에서 하나의 요소를 제거하고 끝 부분에 하나의 요소를 추가합니다.
   이 과정을 배열의 끝까지 반복합니다.
3. 각 단계에서 얻은 윈도우의 합을 기록하고, 이전에 기록한 최대 합과 비교하여 최대 합을 업데이트합니다.

코드 구현

def max_sum_subarray(nums, k):
    # 초기 윈도우 계산
    max_sum = sum(nums[:k])
    window_sum = max_sum
    
    # 슬라이딩 윈도우 적용
    for i in range(k, len(nums)):
        # 현재 윈도우에서 가장 왼쪽 숫자를 제거하고 새로 추가된 숫자를 더합니다.
        window_sum += nums[i] - nums[i - k]
        max_sum = max(max_sum, window_sum)
    
    return max_sum

# 예제 실행
nums = [1, 3, 2, 5, 4, 8]
k = 3
result = max_sum_subarray(nums, k)
print(f"최대 부분 배열의 합: {result}")

코드 설명

위의 함수 max_sum_subarray는 배열 nums와 정수 k를 인자로 받아 최대 합을 반환합니다.
먼저, 초기 윈도우의 합을 구한 후 슬라이딩 윈도우 방식을 통해 배열을 순회합니다.
각 윈도우의 합은 이전 합에서 가장 왼쪽 요소를 제거하고 새 요소를 추가하여 구하고,
각 윈도우의 합을 기록하여 최대 합을 업데이트합니다.

결과 및 테스트

위의 예제를 실행하면 최대 부분 배열의 합: 17이라는 결과가 출력됩니다.
이처럼 슬라이딩 윈도우 기법을 활용하면 한 번의 순회만으로 빠르게 문제를 해결할 수 있습니다.

마무리

이번 강좌에서는 슬라이딩 윈도우 기법을 활용하여 배열에서 최대 부분 합을 구하는 문제를 해결했습니다.
이 기법은 동일한 요소를 반복해서 비교할 필요 없이 전체 배열을 단 한 번만 순회하여 시간 복잡도를 줄일 수 있어 매우 유용합니다.
여러 다른 문제에서도 활용할 수 있으므로, 실전 코딩 테스트와 알고리즘 문제가 빈번히 출제되는 분야에서 큰 도움이 될 것입니다.

목차

1. 1. 서론
2. 2. 스택(Stack)
3. 3. 큐(Queue)
4. 4. 알고리즘 문제 설명
5. 5. 문제 풀이 과정
6. 6. 결론

1. 서론

프로그래밍을 배우는 데 있어 가장 기본적인 자료구조 중 두 가지는 스택과 큐입니다. 이 자료구조들은 각각 고유의 일관된 작동 방식을 가지고 있으며, 다양한 알고리즘 문제에서 자주 사용됩니다. 이 글에서는 스택과 큐의 개념을 설명하고, 이들을 활용하여 해결할 수 있는 알고리즘 문제를 다룰 것입니다.

2. 스택(Stack)

스택은 후입선출(LIFO, Last In First Out) 구조를 가진 자료구조입니다. 가장 최근에 삽입된 데이터가 가장 먼저 삭제되는 방식입니다. 스택의 주요 연산으로는 다음과 같은 것이 있습니다:

• push(item): 스택의 맨 위에 item을 추가합니다.
• pop(): 스택의 맨 위에 있는 아이템을 제거하고 반환합니다.
• peek(): 스택의 맨 위에 있는 아이템을 반환하되 제거하지 않습니다.
• is_empty(): 스택이 비어있으면 True, 그렇지 않으면 False를 반환합니다.

3. 큐(Queue)

큐는 선입선출(FIFO, First In First Out) 구조를 가진 자료구조입니다. 가장 먼저 삽입된 데이터가 가장 먼저 삭제되는 방식입니다. 큐의 주요 연산은 다음과 같습니다:

• enqueue(item): 큐의 끝에 item을 추가합니다.
• dequeue(): 큐의 맨 앞에 있는 아이템을 제거하고 반환합니다.
• peek(): 큐의 맨 앞에 있는 아이템을 반환하되 제거하지 않습니다.
• is_empty(): 큐가 비어있으면 True, 그렇지 않으면 False를 반환합니다.

4. 알고리즘 문제 설명

이번에 우리가 풀어볼 문제는 스택과 큐를 활용한 괄호의 유효성 검사입니다. 문제는 다음과 같습니다:

주어진 문자열이 괄호로만 이루어져 있을 때, 괄호가 올바르게 닫히는지를 확인하는 함수를 작성하시오. 올바른 괄호 표현은 모든 열린 괄호가 올바르며 각각의 닫힌 괄호가 열린 괄호와 짝이 맞아야 합니다.

입력

입력은 하나의 문자열로 주어지며, 이 문자열은 다음 괄호들로 이루어질 수 있습니다:

• ‘(‘
• ‘)’
• ‘{‘
• ‘}’
• ‘[‘
• ‘]’

출력

모든 괄호가 올바르게 닫혀 있으면 True를 반환하고, 그렇지 않으면 False를 반환합니다.

5. 문제 풀이 과정

이 문제를 해결하기 위해 스택을 사용할 것입니다. 입력된 문자열을 한 글자씩 처리하면서 열린 괄호는 스택에 추가하고, 닫힌 괄호가 등장할 때 스택에서 열린 괄호와 매칭되는지를 확인합니다. 다음은 문제를 해결하는 과정입니다:

단계 1: 스택 초기화

문자열의 각 문자를 순회하기 위해 빈 리스트를 이용한 스택을 초기화합니다.

단계 2: 괄호 매핑 설정

열린 괄호와 닫힌 괄호의 관계를 정의하기 위해 딕셔너리를 만듭니다.

단계 3: 문자열 순회

문자열을 한 글자씩 순회하면서 열린 괄호일 경우 스택에 추가합니다. 닫힌 괄호일 경우 스택의 맨 위의 요소와 매칭하여 확인합니다.

단계 4: 스택 상태 확인

문자열 순회가 끝난 후, 스택에 남아있는 내용물이 없다면 모든 괄호가 올바르게 닫힌 것입니다.

파이썬 코드 구현

def is_valid_parentheses(s: str) -> bool:
    stack = []
    mapping = {")": "(", "}": "{", "]": "["}
    
    for char in s:
        if char in mapping:  # 닫힌 괄호인 경우
            top_element = stack.pop() if stack else '#'  # 스택에서 꺼내기
            if mapping[char] != top_element:  # 매핑 확인
                return False
        else:  # 열린 괄호인 경우
            stack.append(char)  # 스택에 추가
    
    return not stack  # 스택이 비어있으면 True, 그렇지 않으면 False
    

단계별 설명

이제 각 단계에 대해 좀 더 자세히 설명하겠습니다.

스택 초기화

“stack = []“로 스택을 빈 리스트로 초기화합니다. 스택은 괄호들이 올바른 순서로 열리고 닫히는지 확인하는 데 사용됩니다.

괄호 매핑 설정

“mapping = {“)”: “(“, “}”: “{“, “]”: “[“}“와 같이 딕셔너리를 생성하여 각 닫힌 괄호에 대한 매칭 열린 괄호를 정의합니다. 이 매핑은 닫힌 괄호를 만났을 때, 스택의 맨 위의 요소와 비교하는 데 사용됩니다.

문자열 순회

문자열을 for 루프를 사용하여 한 문자씩 순회합니다. 만약 문자가 닫힌 괄호라면 스택에서 요소를 꺼내서 매핑된 열린 괄호와 비교합니다. 만약 열었다가 닫힌 괄호가 매칭되지 않는다면, 유효하지 않으므로 False를 반환합니다. 만약 문자가 열린 괄호라면, 스택에 추가합니다.

스택 상태 확인

완전 순회 후 스택이 비어있다면 모든 열린 괄호가 올바르게 닫혔다고 할 수 있습니다. 따라서 return not stack는 스택이 비어있으면 True를 반환하고, 그렇지 않으면 False를 반환합니다.

6. 결론

이번 강좌에서는 스택과 큐의 기본 개념을 먼저 살펴보고, 스택을 활용한 괄호 유효성 검사 문제를 해결하는 과정을 다뤘습니다. 스택은 후입선출의 구조로 다양한 알고리즘 문제에 유용하게 사용되며, 이를 이해하고 활용하는 것은 코딩 테스트를 준비하는 데 매우 중요합니다.

큐 또한 중요한 자료 구조로, FIFO 방식으로 작동하여 많은 문제에 적용할 수 있습니다. 스택과 큐는 코딩 문제를 푸는 기초로, 이러한 자료 구조를 잘 이해하고 활용하는 것이 자주 요구됩니다. 이 글에서 다룬 내용을 바탕으로 더 많은 문제를 풀어보며 실력을 쌓아나가길 바랍니다.

작성일: 2023년 10월 10일

작성자: 알고리즘 강사

문제 설명

주어진 정수 N에 대해, 1부터 N까지의 수를 스택을 사용하여 오름차순으로 정렬된 수열을 만드세요. 당신은 다음과 같은 연산을 할 수 있습니다:

• 스택에 1부터 N까지의 수를 차례로 푸시(push)합니다.
• 스택의 가장 위에 있는 값을 팝(pop)하여 출력합니다.

입력으로는 두 개의 숫자를 받습니다:

• 정수 N (1 <= N <= 100,000)
• 정수 K (1 <= K <= N)

출력으로는 K개의 수를 오름차순으로 출력합니다. 스택을 사용할 수 있으며, 주어진 입력 수를 적절히 스택에 넣고 뺄 수 있습니다. 당신의 목표는 스택의 동작을 사용하여 오름차순의 수열을 생성하는 것입니다.

문제 접근 방법

이 문제는 스택의 Last-In-First-Out(LIFO) 특성을 활용하여 주어진 수를 오름차순으로 출력하는 문제입니다. 우선 1부터 N까지의 숫자를 스택에 푸시한 후, 필요한 수를 순서대로 팝하여 출력해야 합니다. 이 과정에서 우리는 주의해야 할 몇 가지 사항이 있습니다:

• 스택에 푸시할 수 있는 수는 1부터 N까지입니다.
• 스택에서 팝할 때는 항상 스택의 최상단에 있는 수부터 팝해야 합니다.
• 최종적으로 출력되는 수는 오름차순으로 정렬되어야 합니다.

알고리즘 구현

이제 문제 접근 방법을 기반으로 알고리즘을 구현해 보겠습니다. 알고리즘의 기본 로직은 다음과 같습니다:

1. N까지의 수를 차례로 스택에 푸시
2. 스택에서 최상단의 수를 팝하며 원하는 수 K개를 출력

다음은 이를 파이썬으로 구현한 코드입니다:

def create_sorted_sequence(N, K):
    stack = []
    result = []
    num = 1
    
    for i in range(N):
        while num <= N:
            stack.append(num)
            num += 1
        
        if stack:  # 스택이 비어있지 않으면
            result.append(stack.pop())
        
        if len(result) == K:  # K개의 수가 출력되면 종료
            break
            
    return result

# 입력 예시
N = 5
K = 3
output = create_sorted_sequence(N, K)
print("오름차순 수열:", output)

            

위의 함수 create_sorted_sequence(N, K)는 N과 K를 입력으로 받아 K개의 오름차순 수열을 생성하는 함수입니다. 스택을 사용하여 수를 저장하고, 필요할 때마다 팝하여 결과 배열에 추가합니다.

코드 설명

코드의 각 부분을 상세히 설명하겠습니다:

1. 스택과 결과 배열 초기화:

   stack = []와 result = []를 사용하여 빈 스택과 결과 배열을 초기화합니다.

2. 수 푸시 로직:

   while num <= N: 조건을 활용하여 1부터 N까지 수를 스택에 푸시합니다. num 변수를 통해 다음에 푸시할 수를 결정합니다.

3. 수 팝 로직:

   if stack:를 사용하여 스택이 비어있지 않을 경우 최상단의 수를 팝하여 결과 배열에 추가합니다.

4. K개 출력 조건:

   if len(result) == K: 조건을 체크하여 출력할 수의 개수가 K에 도달하면 반복문을 종료합니다.

시간 복잡도

이 알고리즘의 시간 복잡도는 다음과 같습니다:

• 스택에 수를 푸시하는 과정: O(N)
• 스택에서 K개를 팝하는 과정: O(K)

따라서 전체 시간 복잡도는 O(N + K)입니다. 이는 효율적인 접근 방법이며, 충분히 빠르게 동작합니다.

결론

스택을 사용하여 수를 오름차순으로 정렬하는 문제는 창의적이고 체계적인 접근 방식이 필요한 문제입니다. 이 강좌를 통해 스택의 기본 원리와 이를 활용한 문제 해결 방법을 배웠습니다. 앞으로도 더 다양한 알고리즘 문제를 풀어보며 실력을 향상시키시길 바랍니다.