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파이썬 코딩테스트 강좌, 동적 계획법 알아보기

1. 동적 계획법이란?

동적 계획법(Dynamic Programming, DP)은 계산 문제를 해결하기 위한 알고리즘의 하나로, 복잡한 문제를 간단한 하위 문제로 나누어 해결하는 방법입니다. 일반적으로 재귀적 접근을 통해 하위 문제의 결과를 기억하여(메모이제이션 기법) 반복 계산을 방지하여 성능을 개선할 수 있습니다.

동적 계획법은 주로 최적화 문제(solving optimization problems)에 사용되며, 주어진 문제에서 최적의 해를 구하는 데 효과적입니다. 많은 문제들이 동적 계획법으로 해결될 수 있으며, 피보나치 수열, 최장 공통 부분 수열, 최소 편집 거리 문제 등이 그 대표적인 예입니다.

2. 적용 문제: 최대 부분 수열 합

문제 설명: 주어진 정수 배열에서 최대 부분 수열의 합을 구하는 문제입니다. 부분 수열은 배열에서 연속된 원소들을 선택하여 구성됩니다. 예를 들어 배열 [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4]에서 최대 부분 수열의 합은 6입니다. (이는 [4,−1,2,1]의 합입니다.)

2.1 문제 접근

이 문제는 동적 계획법을 통해 해결할 수 있습니다. 배열의 각 원소를 순회하면서, 현재 원소를 포함하는 최대 합을 계산합니다. 현재 원소가 포함된 경우와 포함되지 않은 경우를 비교하고 더 큰 값을 선택합니다. 이전 원소의 최대 부분 수열 합을 활용하여 현재 원소의 최대 부분 수열 합을 결정합니다.

3. 문제의 풀이 과정

3.1 변수를 정의하자

먼저, 다음과 같은 변수를 정의하겠습니다:

  • nums: 주어진 정수 배열
  • max_sum: 현재까지의 최대 부분 수열 합
  • current_sum: 현재 위치까지의 부분 수열 합

3.2 점화식 정의

점화식은 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

current_sum = max(nums[i], current_sum + nums[i])

여기서 nums[i]는 현재 원소입니다. 현재 원소를 포함할 때의 합과 포함하지 않을 때의 합 중 큰 값을 선택하게 됩니다. 그리고 매 시간 max_sum을 갱신합니다.

3.3 초기화 및 반복문 작성

초기화 후 반복문을 작성하여 각 원소를 순회하면서 최대 부분 수열의 합을 구합니다.


def max_sub_array(nums):
    max_sum = nums[0]
    current_sum = nums[0]

    for i in range(1, len(nums)):
        current_sum = max(nums[i], current_sum + nums[i])
        max_sum = max(max_sum, current_sum)

    return max_sum

위 코드에서는 배열의 첫 번째 원소를 초기값으로 설정하고, 두 번째 원소부터 시작하여 max_sub_array를 반복적으로 수행합니다.

3.4 코드 설명

코드를 한 줄씩 살펴보겠습니다:

  • max_sum = nums[0]: 최대 부분 수열 합을 첫 번째 원소로 초기화합니다.
  • current_sum = nums[0]: 현재 부분 수열 합을 첫 번째 원소로 초기화합니다.
  • for i in range(1, len(nums)):: 배열의 두 번째 원소부터 순회합니다.
  • current_sum = max(nums[i], current_sum + nums[i]): current_sum을 업데이트합니다.
  • max_sum = max(max_sum, current_sum): max_sum을 업데이트합니다.

3.5 실행 결과

print(max_sub_array([-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4])) # 6

위 코드를 실행하면 최대 부분 수열의 합 6이 출력됩니다.

4. 동적 계획법의 기법

4.1 메모이제이션과 바텀업 접근

동적 계획법은 보통 두 가지 주요 기법으로 구분됩니다:

  • 메모이제이션 (Memoization): 하위 문제의 결과를 저장하여 불필요한 계산을 줄이는 방식입니다. 재귀 호출을 사용하며, 각 함수 호출 시 이미 계산된 결과가 있는지 확인합니다.
  • 바텀업(Bottom-Up): 작은 하위 문제부터 차례대로 해결해 나가는 방식입니다. 일반적으로 반복문을 통해 구현되며, 메모리 사용량을 줄일 수 있습니다.

이러한 기법을 활용하여 다양한 문제를 해결할 수 있습니다.

5. 결론

동적 계획법은 다양한 최적화 문제를 해결하는 데 매우 유용한 알고리즘 기법입니다. 이번 강좌에서 설명한 최대 부분 수열 합 문제를 통해 동적 계획법의 기본적인 개념과 문제 해결 방법을 익힐 수 있었습니다. 이는 다양한 알고리즘 문제 해결에 응용될 수 있으며, 코딩테스트에서 자주 출제되는 주제입니다.

추가로, 다양한 문제를 연습하며 동적 계획법에 대한 이해를 깊이 있게 확장해보시길 바랍니다. 이를 통해 알고리즘적 사고력을 향상시키고, 코딩테스트에서 좋은 결과를 얻을 수 있을 것입니다.

파이썬 코딩테스트 강좌, 다익스트라

안녕하세요, 여러분! 오늘은 다익스트라 알고리즘에 대해 깊이 있게 알아보고, 실제 코딩 테스트에서 자주 출제되는 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 다익스트라 알고리즘은 가중치가 있는 미그래프에서 최단 경로를 찾는 알고리즘으로, 주로 네트워크 최단 경로 문제를 해결하는 데 사용됩니다.

1. 다익스트라 알고리즘 개요

다익스트라 알고리즘은 1956년 에드가 다익스트라에 의해 개발된 최단 경로 알고리즘으로, 특정 정점에서 시작하여 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 찾는 데 사용됩니다. 이 알고리즘은 음수 가중치를 허용하지 않으며, 그래프가 연결되어 있다고 가정합니다.

1.1 알고리즘 동작 원리

  • 시작 정점을 선택하고, 그 정점의 거리를 0으로 설정합니다.
  • 나머지 모든 정점의 거리를 무한대로 초기화합니다.
  • 최소 거리가 결정되지 않은 정점 중에서 가장 거리가 짧은 정점을 선택합니다.
  • 선택된 정점을 기준으로 인접 정점들의 거리를 업데이트합니다.
  • 모든 정점의 거리가 결정될 때까지 반복합니다.

2. 문제 설명

이제 실제 문제를 통해 다익스트라 알고리즘을 적용해봅시다.

문제: 최단 경로 찾기

입력으로 주어진 그래프가 주어졌을 때, 특정 시작 정점에서 모든 다른 정점까지의 최단 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력 조건

  • 첫째 줄에 정점의 개수 V와 간선의 개수 E가 주어진다. (1 ≤ V ≤ 20, 1 ≤ E ≤ 100)
  • 둘째 줄부터 E개의 줄에 걸쳐 각각의 간선에 대한 정보가 주어진다. 간선의 정보는 시작 정점 A, 도착 정점 B, 가중치 C 형태로 주어진다.
  • 마지막 줄에는 시작 정점 K가 주어진다.

출력 조건

시작 정점 K에서 다른 모든 정점까지의 최단 거리를 출력합니다. 만약 어떤 정점까지의 경로가 없다면 INF를 출력합니다.

3. 문제 풀이 과정

3.1 그래프 표현

우선 주어진 간선 정보를 바탕으로 그래프를 인접 리스트로 표현합니다. 파이썬에서는 딕셔너리(Dictionary)를 사용하여 각 정점과 그 정점과 연결된 다른 정점 및 가중치를 저장할 수 있습니다.

from collections import defaultdict
import heapq

def create_graph(edges):
    graph = defaultdict(list)
    for A, B, C in edges:
        graph[A].append((B, C))
    return graph

3.2 다익스트라 알고리즘 구현

이제 실제 다익스트라 알고리즘을 구현합니다. 이 알고리즘은 우선순위 큐를 활용하여 현재까지의 최단 경로를 효율적으로 업데이트합니다.

def dijkstra(graph, start, V):
    distances = {vertex: float('inf') for vertex in range(1, V + 1)}
    distances[start] = 0
    priority_queue = [(0, start)]

    while priority_queue:
        current_distance, current_vertex = heapq.heappop(priority_queue)

        if current_distance > distances[current_vertex]:
            continue

        for neighbor, weight in graph[current_vertex]:
            distance = current_distance + weight

            if distance < distances[neighbor]:
                distances[neighbor] = distance
                heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))

    return distances

3.3 최종 코드

모든 요소를 종합하여 최종적인 코드를 작성합니다. 입력을 받고 결과를 처리하는 부분도 포함되어 있습니다.

def main():
    V, E = map(int, input().split())
    edges = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(E)]
    K = int(input())

    graph = create_graph(edges)
    distances = dijkstra(graph, K, V)

    for vertex in range(1, V + 1):
        if distances[vertex] == float('inf'):
            print("INF")
        else:
            print(distances[vertex])

if __name__ == "__main__":
    main()

4. 시간 복잡도

다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 사용된 데이터 구조에 따라 달라집니다. 일반적으로 우선순위 큐를 사용할 경우 O((V + E) log V)입니다. 여기서 V는 정점의 수, E는 간선의 수입니다.

5. 결론

이번 강좌에서 다익스트라 알고리즘을 통해 최단 경로 문제를 해결하는 방법을 배우고, 실제 입력을 다루어 보았습니다. 이 알고리즘은 네트워크, 게임 개발 등 다양한 분야에서 활용될 수 있으므로, 잘 숙지해두면 좋습니다.

추가 문제를 통해 더 다양한 상황을 연습해 보시기 바랍니다. 다음 강좌에서는 다른 알고리즘을 살펴보도록 하겠습니다. 감사합니다!

파이썬 코딩테스트 강좌, 다리 만들기

안녕하세요, 여러분! 이번 글에서는 파이썬을 이용하여 코딩 테스트에서 자주 다루어지는 알고리즘 문제를 해결하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 주제는 ‘다리 만들기’입니다. ‘다리 만들기’ 문제는 실제로 다양한 변형이 존재하는 classic 문제로, 그래프 이론과 관련한 중요한 개념들을 포함하고 있습니다.

문제 설명

주어진 여러 개의 섬이 있습니다. 각 섬은 서로 다른 위치에 있으며, 섬들 간에 다리를 건설하려고 합니다. 이때, 다리는 수직 또는 수평으로만 건설할 수 있으며, 다리가 직선으로 뻗어나가야 합니다. 또한, 가능한 한 많은 섬을 연결할 수 있도록 다리의 총 길이를 최소화해야 합니다.

주어진 섬의 좌표가 x, y로 주어질 때, 최소 다리의 총 길이를 출력하는 함수를 작성하세요.

def minimum_bridge_length(islands: List[Tuple[int, int]]) -> int:
    pass

입력

섬의 개수 N(2 ≤ N ≤ 10,000)과 각 섬의 좌표 (x, y) 리스트가 주어집니다.

출력

최소 다리의 총 길이를 정수로 반환합니다.

문제 풀이 과정

1. 문제 이해하기

문제의 목표는 주어진 여러 개의 섬을 연결하는 최소 다리의 총 길이를 찾는 것입니다. 이 문제의 핵심은 각 섬 사이의 다리 길이가 어떻게 계산되는지를 이해하는 것입니다. 두 섬의 좌표 (x1, y1)와 (x2, y2)가 있을 때, 이들 사이의 다리 길이는 |x1 – x2| + |y1 – y2|로 계산될 수 있습니다. 즉, 각 섬의 x좌표와 y좌표의 차이를 합한 값입니다.

2. 알고리즘 설계

섬들 간의 모든 조합을 고려하여 다리를 건설하는 방식으로 문제를 해결할 수 있습니다. 그러나 N이 최대 10,000이므로 모든 조합을 고려하면 O(N^2) 시간 복잡도를 가지게 되어 효율적이지 않습니다. 대신, 최소 신장 트리(MST) 알고리즘을 활용하여 다리를 최소한으로 연결할 수 있도록 합니다.

MST를 구성하기 위해 Kruskal 또는 Prim 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 여기서는 Prim 알고리즘을 사용할 것입니다. 이 알고리즘은 그래프의 한 꼭짓점에서 시작하여 가장 짧은 간선을 하나씩 추가해가며 최소 신장 트리를 만드는 방식입니다.

3. Prim 알고리즘 구현

먼저, 각 섬의 좌표를 저장하는 리스트와 연결 비용을 저장하는 우선순위 큐를 준비합니다. 그런 다음, 한 섬에서 시작하여 연결된 모든 섬의 다리 길이를 계산하고, 가장 짧은 길이의 섬을 추가하는 과정을 반복합니다.


import heapq
from typing import List, Tuple

def minimum_bridge_length(islands: List[Tuple[int, int]]) -> int:
    n = len(islands)
    visited = [False] * n
    min_heap = []
    
    # 첫 번째 섬에서 시작
    for i in range(1, n):
        dist = abs(islands[0][0] - islands[i][0]) + abs(islands[0][1] - islands[i][1])
        heapq.heappush(min_heap, (dist, i))
    
    visited[0] = True
    total_length = 0
    edges_used = 0
    
    while min_heap and edges_used < n - 1:
        dist, island_index = heapq.heappop(min_heap)
        
        if visited[island_index]:
            continue
        
        visited[island_index] = True
        total_length += dist
        edges_used += 1
        
        for i in range(n):
            if not visited[i]:
                new_dist = abs(islands[island_index][0] - islands[i][0]) + abs(islands[island_index][1] - islands[i][1])
                heapq.heappush(min_heap, (new_dist, i))
    
    return total_length

4. 복잡도 분석

이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(E log V)입니다. 여기서 E는 간선의 개수이고 V는 정점의 개수입니다. 하지만 모든 조합을 고려하지 않고 각 섬을 기준으로 다리를 생성하기 때문에, 실질적인 성능은 더 우수합니다.

5. 예제

이제 이 알고리즘을 사용하여 예제를 해결해 보겠습니다.


islands = [(0, 0), (1, 1), (3, 1), (4, 0)]
print(minimum_bridge_length(islands))  # Output: 4

위 예제에서, (0,0)에서 (1,1)의 다리, (1,1)에서 (3,1), 그리고 (3,1)에서 (4,0)까지 연결할 수 있습니다. 총 다리 길이는 4가 됩니다.

마무리

이번 강좌에서는 Python을 이용한 ‘다리 만들기’ 문제에 대해 알아보았습니다. 알고리즘 문제를 해결하는 방법은 다양하며, 코딩 테스트를 준비하는 데 매우 유용한 기술입니다. 문제를 해결하면서 사용되는 데이터 구조와 알고리즘에 대해 깊이 있는 이해를 바탕으로 계속해서 연습해 보시기 바랍니다. 더 많은 문제가 필요하시면 지속적으로 업데이트 하도록 하겠습니다.

감사합니다!

파이썬 코딩테스트 강좌, 다각형의 면적 구하기

다각형의 면적을 계산하는 것은 프로그래밍 및 수학적 사고 방식의 기초적인 이해를 요구하는 중요한 문제입니다.
이 문제는 실제 코딩 테스트에서도 자주 출제되며, 이루어지는 과정은 여러 가지 논리에 기초하고 있습니다.
본 강좌에서는 먼저 문제의 정의를 내리고, 그에 따른 알고리즘을 설명한 후, 최종적으로 Python 언어를 활용해 코드를 작성해 보겠습니다.

문제 정의

입력으로 주어지는 여러 점들을 이용해 다각형을 구성한다고 가정하겠습니다.
주어진 점들은 일련의 좌표 (x, y)로 표현되며, 이 점들을 연결하여 다각형을 이루게 됩니다.
이때, 다각형의 면적을 계산하는 알고리즘을 작성해야 합니다.
입력 예시는 다음과 같습니다. 

        4
        0 0
        4 0
        4 3
        0 3

위의 입력은 네 개의 점 (0, 0), (4, 0), (4, 3), (0, 3)를 연결하여 사각형을 만들 수 있음을 나타냅니다.
면적을 구하는 공식은 다음과 같습니다:
면적 = 1/2 × |Σ (x_i * y_{i+1} - x_{i+1} * y_i)|
단, 마지막 점 (x_n, y_n)은 첫 번째 점 (x_0, y_0)과 연결해야 합니다.

문제 해결 접근 방식

다각형의 면적을 계산하기 위한 접근 방법은 크게 두 가지로 나눌 수 있습니다.
첫째, 다각형의 꼭짓점 좌표를 이용한 공식을 직접 구현하는 방법입니다.
둘째, 라이브러리를 활용해 간편하게 면적을 구하는 방법입니다.
본 강좌에서는 첫 번째 방법을 통해 알고리즘을 구현해 보도록 하겠습니다.

1. 데이터 입력

다각형의 꼭짓점 개수와 각 꼭짓점의 좌표를 입력받습니다.
이때 사용자로부터 입력받은 데이터를 리스트에 저장하여 관리합니다.
Python의 기본 입력 기능을 사용하여 여러 개의 점을 처리할 수 있습니다.

2. 면적 계산 알고리즘 구현

면적 계산 공식을 파이썬으로 구현해 보겠습니다.
다각형의 장점 중 하나는 넓이를 쉽게 계산할 수 있다는 점인데, 우리 알고리즘은 ‘쇼엘레스 공식’을 기반으로 작동하게 됩니다.

예시 코드

        def polygon_area(coords):
            n = len(coords)
            area = 0
            for i in range(n):
                x1, y1 = coords[i]
                x2, y2 = coords[(i + 1) % n]
                area += x1 * y2 - x2 * y1
            return abs(area) / 2

3. 전체 코딩 과정

전체 알고리즘을 하나의 함수로 묶어 보겠습니다.
아래 코드는 입력을 받는 부분과 면적을 계산하는 기능을 포함하고 있습니다.
이 코드는 사용자로부터 반드시 정수를 입력받으며, 이상적인 데이터를 필요로 합니다.

최종 코드

        def polygon_area(coords):
            n = len(coords)
            area = 0
            for i in range(n):
                x1, y1 = coords[i]
                x2, y2 = coords[(i + 1) % n]
                area += x1 * y2 - x2 * y1
            return abs(area) / 2

        def main():
            n = int(input("다각형의 꼭짓점 개수를 입력하세요: "))
            coords = []
            for _ in range(n):
                x, y = map(int, input("꼭짓점의 좌표를 입력하세요 (x y): ").split())
                coords.append((x, y))
            print("다각형의 면적은: ", polygon_area(coords))

        if __name__ == "__main__":
            main()

결론 및 추가적인 팁

이제 우리는 파이썬을 통해 다각형의 면적을 계산할 수 있는 알고리즘을 구현했습니다.
실제 코딩 면접에서는 이러한 기본 문제를 접하게 될 가능성이 높습니다.
따라서 다양한 형태의 다각형과 입력 데이터를 활용해 연습할 것을 권장합니다.
또한, 효율성을 높이기 위해 필요한 경우, 알고리즘의 시간 복잡도를 분석하고 최적화하는 연습도 중요합니다.

참고 자료

  • 다각형의 면적을 구하는 수학적 기초
  • Python의 기본 함수 및 I/O 처리 이해하기
  • 쇼엘레스 공식을 이해하고 활용하기
  • 코딩 테스트 준비하기 – 다양한 알고리즘 문제 풀이

파이썬 코딩테스트 강좌, 다리 놓기

문제 설명

‘다리 놓기’ 문제는 주어진 두 개의 수 N과 M에 대해 N개의 다리를 M개의 기둥 위에 올려 놓는 방법의 수를 계산하는 문제입니다.
다리는 서로 교차하지 않아야 하며, 기둥 위에 올려놓을 수 있는 다리의 수는 기둥보다 작거나 같아야 합니다.
이 문제는 조합(combination) 개념과 동적 프로그래밍(DP)을 사용하여 효율적으로 해결할 수 있습니다.

문제 정의

입력:
첫 번째 줄에 두 개의 정수 N (다리의 수)과 M (기둥의 수)가 공백으로 구분되어 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100, 1 ≤ M ≤ 100)
출력:
다리를 놓는 방법의 수를 출력하시오.

문제 해결 접근 방식

이 문제는 조합(combination)의 성질을 이용하여 해결합니다. N개의 다리를 M개의 기둥에 놓는 방법은
다음과 같은 수학적 공식으로 나타낼 수 있습니다.

C(M, N) = M! / (N! * (M – N)!)

여기서 C(M, N)은 M개에서 N개를 선택하는 조합의 수를 의미합니다.
Python에서는 math 라이브러리의 factorial 함수를 사용하여 이 문제를 쉽게 꽤 수 있습니다.

알고리즘 구현

이제 문제를 해결하기 위한 Python 코드를 작성해 보겠습니다. 아래의 코드는 다리를 놓는 방법의 수를 계산합니다:


import math

def bridge_count(N, M):
    return math.factorial(M) // (math.factorial(N) * math.factorial(M - N))

# 입력 받기
N, M = map(int, input("다리의 수(N)와 기둥의 수(M)를 입력하세요: ").split())
result = bridge_count(N, M)
print(result)

코드 설명

1. import math: 파이썬의 수학 라이브러리를 가져옵니다.
2. def bridge_count(N, M):: 다리의 수(N)와 기둥의 수(M)를 인자로 받는 함수를 정의합니다.
3. math.factorial(M): M의 팩토리얼을 계산합니다.
4. return: 조합의 수를 계산하여 반환합니다.
5. N, M = map(int, input().split()): 사용자로부터 입력을 받아 정수형으로 변환합니다.
6. 마지막으로 결과를 출력합니다.

테스트 케이스

다양한 테스트 케이스를 통해 알고리즘을 검증해 보겠습니다.

  • Test Case 1: N = 2, M = 4 -> 출력: 6 (예: 다리1-기둥1, 다리2-기둥2; 다리1-기둥2, 다리2-기둥3 등)
  • Test Case 2: N = 3, M = 5 -> 출력: 10 (3개의 다리를 5개의 기둥에 배치)
  • Test Case 3: N = 1, M = 1 -> 출력: 1 (1개의 다리는 1개의 기둥에만 놓을 수 있다)

시간 복잡도 분석

이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(M)입니다. M의 크기에 따라 전반적인 성능이 달라지므로
입력값의 범위를 고려하여 적절한 시간 내에 결과를 도출할 수 있습니다.

결론

본 포스팅에서는 ‘다리 놓기’ 문제를 통해 기본적인 조합 원리를 활용하여 다리의 배치 방법을 계산하는 간단한 알고리즘을 구현해 보았습니다.
이 문제를 풀면서 조합의 개념과 Python의 수학 모듈을 활용하여 복잡한 수식을 간단하게 계산할 수 있다는 점을 배웠습니다.
다리 놓기 문제는 기본적인 알고리즘 문제로, 코딩 테스트 및 대회에서 자주 출제되는 문제입니다.
따라서, 알고리즘 연습을 통해 다양한 사례에 적응할 수 있어야 합니다.
추가적으로 다양한 문제 풀기를 통해 알고리즘 감각을 더욱 향상시킬 수 있습니다.