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파이썬 코딩테스트 강좌, 오일러 피 함수 구현하기

안녕하세요! 오늘은 파이썬으로 오일러 피 함수(Euler’s Totient Function)를 구현하는 방법을 알아보겠습니다. 이 글에서는 오일러 피 함수의 정의와 성질을 살펴보고, 효율적으로 구현하는 방법에 대해 단계적으로 설명할 것입니다.

1. 오일러 피 함수란?

오일러 피 함수 φ(n)은 1과 n 사이의 정수 중에서 n과 서로소인 수의 개수를 나타내는 함수입니다. 즉, φ(n)은 n과 공약수를 가지지 않는 수의 수를 의미합니다. 예를 들어:

φ(1) = 1 (1은 자신만과 서로소)
φ(2) = 1 (1만이 2와 서로소)
φ(3) = 2 (1, 2가 3과 서로소)
φ(4) = 2 (1, 3이 4와 서로소)
φ(5) = 4 (1, 2, 3, 4가 5와 서로소)

2. 오일러 피 함수의 성질

오일러 피 함수는 몇 가지 중요한 성질을 가지고 있습니다:

만약 n이 소수 p라면, φ(p) = p – 1
만약 n이 소수의 거듭제곱 p^k라면, φ(p^k) = p^k(1 – (1/p))
n이 두 정수 a와 b의 곱이라면, φ(ab) = φ(a) * φ(b) * (1 – (1/gcd(a,b)))

2.1 예시

주어진 수 n의 오일러 피 함수 값 φ(n)을 구해야 한다면, n의 소인수를 찾아야 합니다. 예를 들어 n = 12이 주어진 경우, 소인수는 2와 3이며, 이 두 소수에 대한 φ 값을 사용하여 φ(12)를 계산할 수 있습니다.

3. 오일러 피 함수 구현 방법

지금부터 φ(n)을 효율적으로 구현하는 방법을 알아보겠습니다. 기본적인 접근 방식은 각각의 수를 확인해서 서로소인 수의 개수를 세는 것인데, 이는 비효율적이므로 개선할 필요가 있습니다.

3.1 에라토스테네스의 체 방식

오일러 피 함수를 효율적으로 구현하는 방법 중 하나는 에라토스테네스의 체(Sieve of Eratosthenes)의 개념을 사용하는 것입니다. 다음은 φ(n)을 계산하는 로직입니다:

def euler_totient(n):
    # 1부터 n까지의 페어 배열 초기화
    phi = list(range(n + 1))
    
    # 에라토스테네스의 체를 사용하여 오일러 피 함수 값 계산
    for i in range(2, n + 1):
        if phi[i] == i:  # i가 소수일 경우
            for j in range(i, n + 1, i):
                phi[j] *= (i - 1)
                phi[j] //= i
    return phi

3.2 코드 분석

위의 코드는 다음과 같이 작동합니다:

φ 배열을 1부터 n까지 초기화합니다. 즉, φ[i]는 처음에는 i로 설정됩니다.
2부터 n까지의 모든 수 i에 대해, i가 소수인지 확인합니다. 이 경우, φ 배열을 업데이트합니다.
j는 i의 배수로 설정하여 해당 배수의 φ 값을 갱신합니다.

4. 시간 복잡도 분석

이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n log log n)입니다. 이는 에라토스테네스의 체와 유사하여, 매우 효율적으로 φ(n)을 계산할 수 있습니다. 작은 n의 경우에만 이 알고리즘을 사용하실 수 있으나, 큰 n의 경우에도 충분히 빠른 성능을 유지합니다.

5. 예제

다음은 이 알고리즘을 사용하여 n = 10까지의 오일러 피 값을 계산하고 출력하는 예제입니다:

if __name__ == "__main__":
    n = 10
    result = euler_totient(n)
    print(f"n = {n} 까지의 오일러 피 함수 값: {result[1:]}")

5.1 출력 예시

n = 10 까지의 오일러 피 함수 값: [1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 4]

6. 결론

이번 글에서는 오일러 피 함수의 정의, 성질, 구현 방법에 대해 알아보았습니다. 고전적인 방식 대신 에라토스테네스의 체를 활용하면 효율적으로 φ(n)을 구할 수 있다는 점이 인상적입니다. 앞으로 다른 알고리즘과 자료구조를 배우면서 더 복잡한 문제들도 해결해 나가길 바랍니다.

7. 참고 자료

지금까지 함께 해주셔서 감사합니다! 다음 시간에도 더 유익한 알고리즘 강좌로 찾아뵙겠습니다.

문제 설명

오일러의 피 함수(Euler’s totient function) φ(n)은 1부터 n까지의
정수 중 n과 서로소인 수의 개수를 센 함수입니다. 예를 들어,
φ(1)=1, φ(2)=1, φ(3)=2, φ(4)=2, φ(5)=4입니다.

주어진 양의 정수 n에 대해 φ(n) 값을 계산하는 코드를 작성하시오.
단, n은 1과 10^6 사이의 값입니다.

문제 해결 과정

1. 문제 이해하기

이 문제는 오일러의 피 함수의 정의를 기반으로 하며,
n과 서로소인 모든 수를 찾아야 합니다. 서로소란 두 수의
최대공약수가 1인 것을 말하며, 이 조건을 이용해
φ(n)을 구할 수 있습니다.

2. 알고리즘 설계

오일러 피 함수는 기약분수의 형태로 표현할 수 있습니다. 이를 통해 n의 소인수를 찾아
서로소의 개수를 구할 수 있습니다. n의 소인수 p에 대하여,
φ(n) = n × (1 – 1/p)입니다. n의 모든 소인수에 대해 이 식을 적용하면 됩니다.

3. 코드 구현

먼저 소인수를 찾는 함수를 구현한 후, 이를 이용해
φ(n)을 계산하는 코드를 작성하겠습니다.


def euler_totient(n):
    result = n   # 초기값은 n
    p = 2
    while p * p <= n:   # 소인수를 찾기
        if n % p == 0:   # p가 n의 소인수인지 확인
            while n % p == 0:   # p에 해당하는 소인수를 제거
                n //= p
            result -= result // p   # 서로소 개수 계산
        p += 1
    if n > 1:   # 마지막으로 남은 소인수
        result -= result // n
    return result

4. 예제와 테스트

φ(10)을 계산해보겠습니다. φ(10)은 5와 2의 소인수를 가집니다.
이를 통해 φ(10) = 10 × (1 – 1/2) × (1 – 1/5) = 4가 됩니다.


print(euler_totient(10))  # 출력: 4

5. 결론

오일러 피 함수는 수론에서 매우 중요한 개념으로,
고급 알고리즘을 구현하는 데 있어 필수적인 지식을 제공합니다.
이 문제를 통해 이러한 기반 지식을 확립할 수 있습니다.

파이썬 코딩테스트 강좌, 연속된 자연수의 합 구하기

이 글에서는 취업을 위한 알고리즘 시험 준비에 도움이 될 수 있는 ‘연속된 자연수의 합 구하기’ 문제를 다루고자 합니다. 해당 문제에 대한 이해를 돕기 위하여 문제 설명, 풀이 과정, 코드 구현 및 시간 복잡도 분석까지 자세히 살펴보겠습니다.

문제 설명

연속된 자연수의 합을 구하는 문제는 주어진 정수 N에 대하여 연속된 자연수 k, k+1, k+2, ..., k+m의 합이 N이 되는 경우의 수를 찾는 문제입니다. 여기서 k는 자연수이며, m은 0 이상의 정수입니다.

예를 들어, N = 15인 경우는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
4 + 5 + 6 = 15
7 + 8 = 15
15 = 15 (연속된 수가 아닌 경우)

따라서 N = 15인 경우 총 3개의 경우가 존재합니다.

문제 풀이 과정

이 문제를 해결하기 위해서는 다음과 같은 과정이 필요합니다:

연속된 자연수의 합의 일반적인 식을 이해합니다.
k부터 시작하여 N에 도달하기 위해 m을 조정하면서 결과를 체크합니다.
모든 가능한 k 값을 시도하여 조건을 충족하는 경우의 수를 센다.

1. 연속된 자연수의 합의 일반적인 식

연속된 자연수의 합은 다음과 같은 수학적 식으로 표현할 수 있습니다:

S = k + (k + 1) + (k + 2) + ... + (k + m) = (m + 1) * k + (0 + 1 + 2 + ... + m)

위의 식을 정리하면:

S = (m + 1) * k + (m * (m + 1)) / 2

우리는 이 식을 N에 맞춰 조정할 것입니다.

2. k부터 시작하여 m을 조정

이제 우리는 k의 값에 따라 N을 초과하지 않도록 m의 값을 증가시켜가며 필요한 조건을 찾아야 합니다. 이 과정을 반복하여 S = N이 되는 경우를 찾아냅니다.

3. 모든 가능한 k 값 시도

이 과정에서는 여러 비효율적인 경우를 피하도록 k의 최대값은 N의 제곱근 정도가 적절할 것입니다. 이를 통해 알고리즘의 복잡도를 줄일 수 있습니다.

코드 구현

아래는 위의 알고리즘을 바탕으로 한 파이썬 코드 예제입니다:

def count_consecutive_sum(N):
    count = 0
    # k 값의 범위 설정
    for k in range(1, N // 2 + 2):
        total = 0
        m = 0
        while total < N:
            total += k + m
            m += 1
        if total == N:
            count += 1
    return count

# 테스트
print(count_consecutive_sum(15))  # 출력: 3

코드 설명

위 코드는 주어진 정수 N에 대해 연속된 자연수의 합으로 나타내는 경우의 수를 반환합니다. k의 값을 1부터 시작해 N/2 + 2까지 반복하며, 내부에서 m 값을 증가시키며 총합을 계산합니다. 만약 총합이 N과 match 된다면 카운트를 증가시킵니다.

시간 복잡도 분석

위의 코드에서 외부 루프는 O(N)의 시간 복잡도를 가지며, 내부 루프는 매 k에 대해 약 O(N)번 반복됩니다. 따라서 전체 알고리즘의 시간 복잡도는 최악의 경우 O(N^2)가 될 수 있습니다. 그러나 k의 범위를 줄여 주면 실질적으로는 더 효율적인 실행이 가능합니다.

최적화

최적화가 가능하는 지점은 k의 최대값을 N의 제곱근으로 제한함으로써 더욱 효율적인 성능을 얻을 수 있습니다. 다음과 같이 코드를 변경할 수 있습니다:

def count_consecutive_sum_optimized(N):
    count = 0
    k = 1
    while k * (k + 1) // 2 < N:  # k의 값이 N보다 작을 때까지
        # 연속된 수의 합 계산
        total = N - (k * (k - 1) // 2)
        if total > 0 and total % k == 0:
            count += 1
        k += 1
    return count

# 테스트
print(count_consecutive_sum_optimized(15))  # 출력: 3

최적화된 코드 설명

위의 최적화된 코드는 N의 제곱근을 k의 최대값으로 설정함으로써 성능이 개선되었습니다. 또한, 반복문 내에서 total 계산을 통해 조건을 판별하였습니다. 이론적으로 이 코드는 시간 복잡도 O(sqrt(N))에 가깝게 동작하게 됩니다.

파이썬 코딩테스트 강좌, 연속 합 구하기

안녕하세요! 이번 강좌에서는 파이썬을 활용한 알고리즘 문제 중 하나인 연속 합 구하기에 대해 다루어 보겠습니다. 이 문제는 다양한 경로로 접근할 수 있으며, 알고리즘을 공부하는 데 매우 유용합니다. 문제를 풀기 위해 필요한 기초 이론부터 해결 과정까지 자세히 설명할 것입니다.

문제 설명

주어진 정수 배열 arr가 있을 때, 이 배열 내에서 연속된 k개의 요소의 합을 최대화하는 알고리즘을 작성하시오. 배열의 길이는 n으로 주어지며, k는 1 이상 n 이하의 정수입니다. 즉, 우리는 배열 내에서 연속된 k개의 원소의 합을 구하고 이 값의 최대값을 반환해야 합니다.

입력

첫 번째 줄에 배열의 크기 n (1 ≤ n ≤ 100,000)
두 번째 줄에 n개의 정수로 이루어진 배열 arr (-10⁹ ≤ arr_i ≤ 10⁹)
세 번째 줄에 k (1 ≤ k ≤ n)

출력

연속된 k개의 요소의 합의 최대값을 출력합니다.

예제 입력

5
1 2 3 4 5
3

예제 출력

설명

주어진 배열에서 연속된 3개의 요소의 합을 구해보면, 3+4+5=12로 가장 큰 값을 가집니다.

문제 풀이 과정

이 문제를 풀기 위해서는 연속합을 계산할 수 있는 알고리즘이 필요합니다. 단순하게 배열을 순회하며 모든 연속된 k개의 원소를 합산하고 최대값을 구한다면, 시간복잡도가 O(n*k) 가 되어 최대 n이 100,000일 경우 불가능합니다. 따라서 더욱 효율적인 방법으로 해결해야 합니다.

슬라이딩 윈도우 기법

이 문제를 해결하기 위한 유용한 기법 중 하나는 슬라이딩 윈도우(Sliding Window)입니다. 슬라이딩 윈도우는 주어진 배열 또는 리스트에서 특정 크기를 가진 연속적인 부분 배열을 빠르게 계산하는 방법입니다. 이 기법을 사용하면 시간 복잡도를 O(n)으로 줄일 수 있습니다.

알고리즘 설명

처음 k개의 원소를 합산하여 현재의 최대합으로 설정합니다.
그 다음, k개의 요소에 초점을 맞추고 하나의 요소를 제거하고 새롭게 추가된 요소를 추가하여 합을 갱신합니다.
이 과정을 배열의 끝까지 반복하며 최대합을 갱신합니다.

구현 코드

이제 이 알고리즘을 파이썬으로 구현해 보겠습니다. 다음은 슬라이딩 윈도우를 사용한 구현입니다:

def max_sum_k_elements(n, arr, k):
    # 초기 윈도우 합산
    current_sum = sum(arr[:k])
    max_sum = current_sum

    # 슬라이딩 윈도우를 사용하여 나머지 원소 탐색
    for i in range(k, n):
        current_sum += arr[i] - arr[i - k]
        max_sum = max(max_sum, current_sum)

    return max_sum

# 입력값 처리
n = int(input())
arr = list(map(int, input().split()))
k = int(input())

# 최대 연속합 출력
print(max_sum_k_elements(n, arr, k))

코드 설명

코드의 각 부분을 자세히 살펴보겠습니다:

def max_sum_k_elements(n, arr, k): – 함수 선언 부분으로 입력받은 배열과 k를 사용하여 최대 합을 계산합니다.
current_sum = sum(arr[:k]) – 초기 윈도우의 합을 계산합니다.
max_sum = current_sum – 현재의 최대합을 초기화합니다.
for i in range(k, n): – 슬라이딩 윈도우를 위해 k부터 n까지 반복합니다.
current_sum += arr[i] - arr[i - k] – 새로운 원소를 포함하고, 제외된 원소를 빼며 현재 합을 갱신합니다.
max_sum = max(max_sum, current_sum) – 최대 합을 업데이트합니다.
return max_sum – 최종 최대 합을 반환합니다.

결론

이제 우리는 배열에서 연속된 k개의 원소의 합을 최대화하는 문제를 해결했습니다. 슬라이딩 윈도우 기법을 사용함으로써 시간 복잡도를 효과적으로 줄일 수 있었고, 이는 실제 취업 코딩테스트에서 매우 유용한 테크닉입니다.

추가적으로, 이 문제는 다른 형태로도 변형될 수 있기 때문에, 다양한 예제를 통해 더욱 연습하시길 추천드립니다.

안녕하세요, 여러분! 오늘은 코딩 테스트에서 빈번하게 등장하는 문제 중 하나인 “연결 요소의 개수 구하기”에 대해 다뤄보려고 합니다. 이 문제는 주어진 그래프의 연결 요소가 몇 개인지를 구하는 것이며, DFS(Depth-First Search) 또는 BFS(Breadth-First Search)와 같은 그래프 탐색 알고리즘을 통해 해결할 수 있습니다. 이번 강좌를 통해 문제의 이해와 해결 방법을 익혀보도록 하겠습니다.

문제 설명

연결 요소의 개수 구하기 문제는 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

그래프가 주어질 때, 이 그래프의 연결 요소의 개수를 구하시오.

입력:
- 첫째 줄에 정점의 개수 N (1 <= N <= 1000)와 간선의 개수 M (0 <= M <= 10000)이 주어진다.
- 둘째 줄부터 M개의 줄에 간선의 정보를 나타내는 두 정수가 주어진다. 두 정수 A, B는 정점 A와 정점 B가 연결되어 있음을 의미한다.

출력:
- 연결 요소의 개수를 출력한다.

문제 접근 방법

그래프 문제를 풀기 위해서는 먼저 그래프의 구조를 이해하는 것이 중요합니다. 우리는 주어진 정점과 간선 정보를 바탕으로 인접 리스트를 구성하여 그래프를 표현할 수 있습니다. 연결 요소는 서로 연결된 정점들의 집합을 의미하며, 이를 찾기 위해 그래프 탐색 알고리즘을 사용합니다. 그래프의 모든 정점을 방문하면서 방문하지 않은 정점을 만날 때마다 새로운 연결 요소가 발견된 것으로 간주할 수 있습니다.

구현 단계

입력으로부터 그래프를 인접 리스트 형태로 구성합니다.
모든 정점을 방문하면서 DFS 또는 BFS를 통해 연결 요소를 탐색합니다.
탐색 과정에서 방문하지 않은 정점을 만날 때마다 연결 요소의 개수를 증가시킵니다.

코드 구현

이제 위 알고리즘을 바탕으로 실제 코드를 작성해보겠습니다. 파이썬 언어로 DFS를 사용하여 연결 요소의 개수를 구할 것입니다.

def dfs(vertex, adjacency_list, visited):
    visited[vertex] = True # 현재 정점을 방문 처리
    for neighbor in adjacency_list[vertex]:
        if not visited[neighbor]:
            dfs(neighbor, adjacency_list, visited)

def count_connected_components(n, edges):
    adjacency_list = [[] for _ in range(n + 1)]
    for a, b in edges:
        adjacency_list[a].append(b)
        adjacency_list[b].append(a)

    visited = [False] * (n + 1)
    component_count = 0

    for vertex in range(1, n + 1):
        if not visited[vertex]:
            component_count += 1  # 새로운 연결 요소 발견
            dfs(vertex, adjacency_list, visited)

    return component_count

# 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
edges = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(m)]

# 연결 요소의 개수 출력
print(count_connected_components(n, edges))

코드 설명

위 코드를 살펴보면 다음과 같은 과정이 반복됩니다.

우선, 인접 리스트 형태로 그래프를 구성합니다. 이때 n + 1 크기의 리스트를 생성하여 1부터 n까지 인덱스를 사용할 수 있게 합니다.
주어진 간선 정보를 이용하여 양방향 그래프를 구성합니다. 각 정점 A에 대해 연결된 정점 B를 추가하고, B에도 A를 추가하여 양방향성을 갖도록 합니다.
방문 처리 리스트인 visited 배열을 정의합니다. 이는 각 정점이 방문되었는지 여부를 저장합니다.
1부터 n까지의 정점을 하나씩 방문하며, 방문하지 않은 정점이 발견되면 DFS를 호출하여 그 정점과 연결된 모든 정점을 탐색합니다. 이 과정에서 연결 요소의 개수를 증가시킵니다.

복잡도 분석

이번 문제의 시간 복잡도는 O(N + M)입니다. 이때 N은 정점의 수, M은 간선의 수를 의미합니다. DFS 또는 BFS를 수행할 때 정점과 간선을 각각 한 번씩 방문하므로, 이는 그래프 탐색의 일반적인 시간 복잡도입니다. 공간 복잡도 또한 O(N + M)으로 그래프를 인접 리스트로 표현하기 위해 사용되며, 방문 여부를 체크하기 위해 추가적인 배열이 필요합니다.

마무리

지금까지 “연결 요소의 개수 구하기”에 대해 알아보았습니다. 이 문제는 코드 구현뿐만 아니라 그래프의 기본 개념을 이해하는 데 도움을 주며, 다양한 변형 문제로 응용될 수 있습니다. 이 강좌를 통해 그래프에 대한 이해도가 높아지길 바랍니다. 다음 강좌에서도 더 흥미롭고 유용한 알고리즘 문제를 다루겠습니다. 감사합니다.