[카테고리:] 파이썬 코딩테스트 강좌

코딩 테스트에서 자주 등장하는 문제 중 하나는 이차원 배열에서 가장 큰 정사각형을 찾는 문제입니다. 이 문제는 다음과 같은 방식으로 정의할 수 있습니다.

문제 정의

주어진 이진 행렬 (0과 1로 구성된 2차원 배열)에서 1로 구성된 가장 큰 정사각형의 넓이를 구하시오.

예를 들어, 다음과 같은 행렬이 있다고 가정합시다.

    [
        [1, 0, 1, 0, 0],
        [1, 0, 1, 1, 1],
        [1, 1, 1, 1, 1],
        [1, 0, 0, 1, 0]
    ]
    

위의 행렬에서 가장 큰 정사각형은 (1, 1)부터 (3, 3)까지의 영역으로, 크기는 9입니다.

문제 접근과 풀이 과정

이 문제를 해결하기 위해서는 동적 프로그래밍(Dynamic Programming) 방법을 사용할 수 있습니다. 이 방법론은 문제를 더 작은 하위 문제로 나누어 해결하고, 그 결과를 사용하여 최종 결과를 도출합니다.

동적 프로그래밍을 사용한 접근

1. 우리는 먼저 주어진 행렬의 크기를 가져오고, 동적 프로그래밍을 위한 2차원 배열 dp를 정의합니다. 이 dp 배열의 각 요소는 특정 위치에서의 가장 큰 정사각형의 한 변의 길이를 나타냅니다.

2. 초기화: dp 배열의 각 요소를 0으로 초기화합니다. 다만, 주어진 행렬의 첫 번째 행과 첫 번째 열은 주어진 행렬이 1인 위치에 대해서만 1로 설정합니다.

3. dp 배열을 채워나가는 방식: 이진 행렬의 각각의 요소를 살펴보면서, 특정 위치 (i, j)의 값이 1인 경우, dp[i][j] 값은 dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1] 중 최소값 + 1로 설정합니다. 이는 가장 큰 정사각형의 변을 계산하는 방법입니다.

4. 결과: dp 배열에서 가장 큰 값을 찾아야 하며 이 값의 제곱이 우리가 구하고자 하는 정사각형의 넓이가 됩니다.

동적 프로그래밍 구현

이제 위의 방법을 토대로 파이썬 코드를 작성해 보겠습니다.

    
def maximalSquare(matrix):
    if not matrix:
        return 0

    max_square_len = 0
    rows = len(matrix)
    cols = len(matrix[0])
    dp = [[0] * cols for _ in range(rows)]

    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            if matrix[i][j] == '1':
                if i == 0 or j == 0:
                    dp[i][j] = 1
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1

                max_square_len = max(max_square_len, dp[i][j])

    return max_square_len * max_square_len
    
    

코드 설명

코드의 첫 번째 줄에서는 주어진 행렬이 비어있지 않은지를 체크합니다. 비어있다면 결과는 0이 됩니다.

그 다음, 행렬의 행과 열의 크기를 가져오고, dp 배열을 생성합니다. 이 배열은 주어진 이진 행렬과 동일한 크기를 가지며 각 요소는 0으로 초기화됩니다.

포문을 통해 각 요소를 반복하며, 현재 요소가 1인 경우에만 처리를 진행합니다. 이 때, 각 요소를 처리하기 위해서는 위에서 언급한 관계를 사용하여 dp 배열을 채워 나갑니다. 여기서 가장 큰 정사각형의 변의 길이를 항상 추적하여 업데이트합니다.

마지막에는 가장 큰 정사각형의 넓이를 반환합니다.

복잡도 분석

위의 알고리즘은 O(n * m)의 시간 복잡도를 가집니다. 여기서 n은 행렬의 행의 수, m은 열의 수입니다. 공간 복잡도는 O(n * m)으로, 이는 dp 배열을 저장하기 위한 공간입니다.

예시와 함께 하기

이제 이 함수를 사용하여 주어진 행렬에서 가장 큰 정사각형을 찾아보겠습니다.

    
matrix = [
    ["1", "0", "1", "0", "0"],
    ["1", "0", "1", "1", "1"],
    ["1", "1", "1", "1", "1"],
    ["1", "0", "0", "1", "0"]
]
print(maximalSquare(matrix))  # 9
    
    

결론

이 문제는 코딩 테스트에서 자주 등장하는 문제 유형 중 하나입니다. 연습을 통해 이 문제를 잘 이해하고 해결할 수 있다면, 유사한 다른 문제들을 푸는 데에도 큰 도움이 될 것입니다. 더 나아가, 동적 프로그래밍의 원리를 이해하고 적용할 수 있는 능력은 여러 알고리즘 문제 해결에 유용하게 작용할 것입니다.

추가적으로, 이진 행렬을 더 복잡한 형태로 확장하는 복잡한 변형 문제를 다룰 수도 있습니다. 예를 들어, 주어진 행렬에서 0과 1의 구조가 달라지는 경우, 또는 주어진 조건을 만족하는 다른 형태의 정사각형이나 직사각형을 찾아야 할 경우 등 다양한 문제 유형이 존재합니다.

더 나아가기

더 많은 알고리즘 문제를 풀어보고, 시간 복잡도, 공간 복잡도 등을 고려하여 최적화하는 연습을 계속하세요. 이 과정에서 자주 사용하는 자료구조와 알고리즘을 깊이 있게 학습하는 것도 매우 중요합니다. 또한, 다양한 문제를 접하다 보면 자연스럽게 문제 해결 능력이 향상될 것입니다.

앞으로도 많은 알고리즘 강좌를 통해 여러분의 코딩 실력을 함께 키워나가길 바랍니다!

본 강좌에서는 실제 취업 시험에서 자주 출제되는 알고리즘 문제 중 하나인 가장 빠른 버스 노선 구하기 문제를 다룹니다. 이 문제는 그래프 이론과 최단 경로 알고리즘을 활용하여 해결할 수 있습니다. 과정을 통해 알고리즘 문제 해결 능력을 강화하고, 파이썬 코드를 작성하는 데 필요한 다양한 기술을 익히도록 하겠습니다.

문제 설명

도시 N이 있으며, 1번에서 N번까지의 정점이 있습니다. 각 정점 사이에 여러 개의 버스 노선이 있으며, 버스 노선은 출발과 도착 정점, 소요 시간을 가지고 있습니다. 주어진 정보를 바탕으로, 1번 정점에서 N번 정점까지의 가장 빠른 경로와 그 소요 시간을 구하시오.

입력 형식

• 첫 번째 줄에 정점의 개수 N (1 ≤ N ≤ 1000)과 버스 노선의 개수 M (1 ≤ M ≤ 10000) 이 주어집니다.
• 그 다음 M 줄에 각 버스 노선의 정보가 u v w 형식으로 주어지며, u에서 v로 가는 버스의 소요 시간 w (1 ≤ w ≤ 10000)가 주어집니다.

출력 형식

• 1번 정점에서 N번 정점까지 가는 가장 빠른 소요 시간을 출력합니다. 만약 경로가 없으면 -1을 출력합니다.

문제 해결 과정

1. 문제 이해

이 문제는 최단 경로를 찾는 문제로, 그래프 문제의 대표적인 유형입니다. 버스 노선을 그래프로 표현했을 때, 각 정점은 정류소에 해당하고, 간선은 버스 노선, 간선의 가중치는 소요 시간으로 생각할 수 있습니다. 우리가 해결하고자 하는 것은 1번 정점에서 N번 정점까지 가장 빠르게 이동하는 방법입니다.

2. 알고리즘 선택

최단 경로를 구하는 알고리즘은 여러 가지가 있지만, 여기서는 다익스트라 알고리즘을 사용할 것입니다. 다익스트라 알고리즘은 음의 가중치가 없는 그래프에서 최단 경로를 찾는 데 효율적입니다. 주어진 버스 노선의 소요 시간이 모두 양수이므로 이 알고리즘이 적합합니다.

3. 알고리즘 구현

다익스트라 알고리즘의 기본 아이디어는 각 정점까지의 최단 경로 거리를 기록하는 배열을 유지하면서, 현재 가장 짧은 거리의 정점을 선택해가는 방식입니다. 구체적인 구현 과정은 다음과 같습니다.

# 필요한 라이브러리 import
import sys
import heapq

def dijkstra(N, edges):
    # 초기 거리 배열 설정
    distance = [float('inf')] * (N + 1)
    distance[1] = 0  # 시작점인 1번 정점의 거리는 0
    priority_queue = [(0, 1)]  # (거리, 정점)

    # 그래프 초기화
    graph = [[] for _ in range(N + 1)]
    for u, v, w in edges:
        graph[u].append((v, w))

    while priority_queue:
        current_distance, current_vertex = heapq.heappop(priority_queue)
        
        if current_distance > distance[current_vertex]:
            continue

        for neighbor, weight in graph[current_vertex]:
            distance_via_neighbor = current_distance + weight
            
            if distance_via_neighbor < distance[neighbor]:
                distance[neighbor] = distance_via_neighbor
                heapq.heappush(priority_queue, (distance_via_neighbor, neighbor))

    return distance[N] if distance[N] != float('inf') else -1

# 입력 받기
N, M = map(int, input().split())
edges = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(M)]
result = dijkstra(N, edges)

print(result)

4. 예제 및 테스트 케이스

이 알고리즘의 적절함을 확인하기 위해, 여러 가지 입력 예제를 생각해보겠습니다.

예제 1

입력:
4 5
1 2 1
1 3 4
2 3 2
3 4 1
2 4 5

출력:
3

설명: 1번 정점에서 4번 정점까지의 최단 경로는 1 → 2 → 3 → 4로, 총 소요 시간은 3입니다.

예제 2

입력:
3 3
1 2 1
1 3 4
3 2 2

출력:
-1

설명: 1번 정점에서 2번 정점으로 도달할 수 있는 경로가 없으므로 -1을 출력합니다.

마무리

이번 강좌를 통해, 최단 경로를 구하는 다익스트라 알고리즘을 이용하여 가장 빠른 버스 노선 구하기 문제를 해결하는 방법을 배웠습니다. 알고리즘을 이해하고 구현하는 데 도움이 되셨기를 바랍니다. 앞으로의 코딩 테스트에서도 이러한 문제를 접할 수 있으므로 지속적으로 연습하시길 권장합니다.

이 강좌에서는 파이썬 코딩테스트의 중요한 개념 중 하나인 “가장 길게 증가하는 부분 수열” (Longest Increasing Subsequence, LIS)을 찾는 문제를 다룰 것입니다. 이 문제는 여러 IT 기업의 코딩 알고리즘 시험에 자주 등장하며, 효율적인 알고리즘 설계와 구현 능력을 요구합니다. 따라서 제대로 이해하고 연습하는 것이 중요합니다.

1. 문제 설명

주어진 수열에서 증가하는 부분 수열의 길이 중 가장 긴 것을 찾는 문제입니다. 부분 수열은 원래 수열에서 일부 원소들을 선택하여 순서를 유지하면서 만드는 수열입니다. 예를 들어, 수열 [10, 20, 10, 30, 20, 50]이 주어질 때, 가장 긴 증가하는 부분 수열은 [10, 20, 30, 50]로 길이는 4입니다.

2. 문제 접근 및 이해

가장 긴 증가하는 부분 수열 문제는 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다.

• 부분 수열의 원소는 반드시 원래 수열에서 순서를 유지해야 합니다.
• 부분 수열의 길이를 찾아야 하며, 부분 수열 자체를 찾아야 하는 것은 아닙니다.

이 문제를 해결하기 위해서는 두 가지 접근 방법을 사용할 수 있습니다.

1. 동적 프로그래밍(Dynamic Programming) 접근법
2. 이진 탐색(Binary Search) 접근법

2.1 동적 프로그래밍 접근법

동적 프로그래밍을 이용하면 수열의 각 원소를 기준으로 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이를 유지할 수 있습니다. 이 접근법의 시간 복잡도는 O(n^2)입니다.

동적 프로그래밍을 이용한 알고리즘을 다음과 같이 설명할 수 있습니다:

1. dp[i]를 증가하는 부분 수열의 길이로 초기화하여 모든 값을 1로 설정합니다.
2. 각 원소 i에 대해 이전 원소 j (j < i)를 순회하면서, arr[j] < arr[i]인 경우 dp[i]를 dp[j] + 1로 업데이트합니다.
3. 최종 결과는 dp 배열의 최대값입니다.

2.2 이진 탐색 접근법

이진 탐색을 이용한 방법은 좀 더 효율적이며, 시간 복잡도는 O(n log n)입니다. 이 방법은 ‘tails’라는 배열을 이용하여 현재까지의 가장 긴 증가하는 부분 수열의 끝 원소를 저장합니다.

이진 탐색 접근법의 알고리즘을 다음과 같이 설명할 수 있습니다:

1. 빈 배열을 초기화합니다.
2. 수열을 순회하면서 현재 원소에 대해 이진 탐색을 수행하여 tails 배열에서 현재 원소를 삽입할 위치를 찾습니다.
3. 찾은 위치가 tails 배열의 길이와 같다면, 현재 원소를 추가하고 그렇지 않다면 해당 위치를 현재 원소로 업데이트합니다.
4. 최종 결과는 tails의 길이입니다.

3. 알고리즘 구현

3.1 동적 프로그래밍 구현

def longest_increasing_subsequence(arr):
    n = len(arr)
    dp = [1] * n  # 초기화
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if arr[j] < arr[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

3.2 이진 탐색 구현

from bisect import bisect_left

def longest_increasing_subsequence(arr):
    tails = []
    for x in arr:
        i = bisect_left(tails, x)  # x보다 큰 원소의 인덱스 찾기
        if i == len(tails):
            tails.append(x)  # 새로운 원소 추가
        else:
            tails[i] = x  # 원소 업데이트
    return len(tails)

4. 예제와 결과

이제 위에서 구현한 알고리즘을 통해 몇 가지 예제를 돌려보겠습니다.

arr = [10, 20, 10, 30, 20, 50]
print(longest_increasing_subsequence(arr))  # 출력: 4

arr = [3, 2, 5, 6, 3, 7, 1]
print(longest_increasing_subsequence(arr))  # 출력: 5

arr = [1, 2, 3, 4, 5]
print(longest_increasing_subsequence(arr))  # 출력: 5

5. 결론

가장 길게 증가하는 부분 수열 찾기 문제는 코딩 인터뷰에서 자주 등장하는 문제로, 동적 프로그래밍과 이진 탐색 두 가지의 접근법을 통해 해결할 수 있습니다. 이 문제를 통해 동적 프로그래밍의 개념과 이진 탐색의 활용을 모두 익힐 수 있으며, 복잡한 알고리즘 문제를 풀기 위한 기초를 다질 수 있습니다.

여기까지 가장 길게 증가하는 부분 수열을 찾는 파이썬 코딩테스트 강좌를 마치겠습니다. 알고리즘 문제를 해결하는 데 도움이 되었길 바랍니다. 지속적인 연습을 통해 알고리즘 실력을 향상시키고, 다음 코딩 테스트에 대비하세요!

작성자: 조광형 | 날짜: 2024년 11월 26일

문제 설명

주어진 숫자 n이 ‘좋은 수’라면, 그 수를 구하는 문제입니다.
‘좋은 수’의 조건은 다음과 같습니다.

• ‘좋은 수’는 두 자리 이상의 자연수이다.
• 각 자리의 합이 홀수인 수를 ‘좋은 수’로 정의한다.
• 주어진 n 이하의 모든 ‘좋은 수’를 찾아내어 리스트로 반환하라.

예를 들어, n이 30일 경우 ‘좋은 수’는 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29이다.
이 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 설계하고 코드를 구현해보겠습니다.

문제 해결 접근법

문제를 단계별로 접근해보겠습니다.
첫째로, n이 두 자리 이상의 자연수인 경우들만 고려해야 하므로, 10부터 n까지 반복문을 사용하여 각각의 숫자에 대해 자리의 합을 계산하겠습니다.

숫자의 각 자리의 합을 구하기 위해, 주어진 숫자를 문자열로 변환한 후 각 자리의 숫자를 정수로 변환하여 합계에 더하는 방법을 사용할 수 있습니다.
다음으로, 그 합이 홀수인지 판별한 후, 조건을 만족하는 숫자를 리스트에 추가하겠습니다.

코드 구현

이제 위에서 설명한 알고리즘을 파이썬으로 구현해보겠습니다.

def is_good_number(num):
    # 자리의 합을 계산하여 홀수인지 판단
    digit_sum = sum(int(digit) for digit in str(num))
    return digit_sum % 2 == 1

def find_good_numbers(n):
    good_numbers = []
    for i in range(10, n + 1):  # 두 자리 이상의 숫자
        if is_good_number(i):
            good_numbers.append(i)
    return good_numbers

# 테스트
n = 30
print(find_good_numbers(n))
            

위 코드는 is_good_number라는 함수를 사용하여 주어진 수의 각 자리의 합을 계산하고,
해당 합이 홀수인지를 검사합니다.

find_good_numbers 함수는 10부터 n까지의 모든 수를 반복하면서,
‘좋은 수’를 찾고 리스트에 추가하여 반환합니다.

실행 결과

주어진 n = 30에 대해 함수를 실행한 결과는 다음과 같습니다:

[11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29]
            

위와 같이 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29의 ‘좋은 수’가 반환되었습니다.
이 결과는 “각 자리의 합이 홀수인 두 자리 이상의 자연수”라는 조건을 만족합니다.

복잡도 분석

위 알고리즘의 시간 복잡도를 살펴보면,
주어진 n까지의 숫자를 모두 반복해야 하므로 시간 복잡도는 O(n)입니다.
각 숫자에 대해 최대 2자리 수에 대해 자리의 합을 계산해야 하므로 추가적인 상수 시간이 필요하므로
종합적으로 O(n)으로 확인할 수 있습니다.

공간 복잡도는 반환할 ‘좋은 수’를 저장하기 위한 리스트를 사용하므로 O(k)
(k는 ‘좋은 수’의 개수)로 볼 수 있습니다.
실제로는 n이 작을수록 저장될 ‘좋은 수’가 적어지므로 효율적인 공간 사용이 가능합니다.

결론

이번 문제를 통해 반례를 고려하고 자리의 합을 계산하는 과정을 통해
‘좋은 수’를 효과적으로 찾아내는 방법을 학습하였습니다.
문제 해결을 위한 단계별 접근과 파이썬 코드를 통한 구현,
그리고 복잡도 분석을 통해 효율성을 높이기 위한 다양한 방법을 모색할 수 있었습니다.

앞으로 더 많은 알고리즘 문제를 통해 다양한 사고 방식과 해결 방법을 연습해 보세요.
코딩 테스트에서는 문제를 이해하고 접근하는 과정이 매우 중요합니다.

알고리즘 문제 해결에 대한 이해와 연습은 소프트웨어 개발자, 특히 취업을 목표로 하는 학생들에게 필수적입니다. 다양한 유형의 문제를 풀어보면서 문제 해결 능력을 키우고 알고리즘과 자료 구조를 실질적으로 사용하는 법을 배워야 합니다. 이번 강좌에서는 “K번째 최단 경로 찾기”라는 주제를 다루고, 해당 문제를 파이썬으로 해결하는 과정을 상세히 설명하겠습니다.

문제 설명

그래프가 주어졌을 때, 특정 두 노드 사이의 K번째 최단 경로를 찾는 문제입니다. K번째 최단 경로란, 두 노드 사이의 최단 경로 중에서 K번째로 짧은 경로를 의미합니다. 이 문제는 Dijkstra 알고리즘과 같은 최단 경로 탐색 알고리즘의 변형을 통해 접근할 수 있습니다.

문제 요약

• 그래프는 비가중치 및 가중치를 가진 방향성 그래프입니다.
• Graph가 주어짐 (노드 수 N, 간선 수 M).
• 시작 노드 S와 끝 노드 E가 주어진다.
• K번째 최단 경로를 구해야 한다.

입력 형식

N M K
a1 b1 c1
a2 b2 c2
...

위의 입력 형식에서, N은 노드의 수, M은 간선의 수, K는 찾고자 하는 K번째 최단 경로를 의미합니다. 각 간선은 세 개의 숫자로 주어지며, a는 시작 노드, b는 종료 노드, c는 가중치를 뜻합니다.

출력 형식

K번째 최단 경로의 길이 또는 K번째 최단 경로가 존재하지 않으면 -1

예제

입력 예제

4 5 2
1 2 4
1 3 2
2 3 5
2 4 1
3 4 8

출력 예제

6

풀이 과정

이 문제를 해결하기 위해서 K번째 최단 경로를 찾는 알고리즘을 구현해야 합니다. 일반적인 최단 경로 알고리즘인 Dijkstra 알고리즘을 변형하여 사용할 예정이며, 각 경로의 비용을 관리하는 방법을 고안해야 합니다. 여기서는 우선순위 큐(Priority Queue)를 활용하여 경로를 탐색하는 방식으로 해결하겠습니다.

단계별 접근

1단계: 그래프 표현하기

그래프를 인접 리스트 형태로 표현합니다. 각 노드와 간선 정보를 담기 위해 딕셔너리나 리스트를 사용합니다.

from collections import defaultdict
import heapq

def build_graph(edges):
    graph = defaultdict(list)
    for (u, v, w) in edges:
        graph[u].append((v, w))
    return graph

2단계: 우선순위 큐를 사용한 경로 탐색

우선순위 큐를 사용하여 최단 경로를 탐색합니다. 각 경로의 비용과 노드를 튜플 형태로 저장하여 관리할 수 있습니다. 이때, K개의 경로를 저장하기 위한 리스트를 준비해야 합니다.

def kth_shortest_path(graph, start, end, k):
    # 초기화
    pq = []
    heapq.heappush(pq, (0, start))  # (비용, 노드)
    paths = defaultdict(list)

    while pq:
        cost, node = heapq.heappop(pq)
        
        # K번째 경로를 찾았을 경우
        if node == end:
            paths[end].append(cost)
            if len(paths[end]) >= k:
                break
        
        for neighbor, weight in graph[node]:
            new_cost = cost + weight
            heapq.heappush(pq, (new_cost, neighbor))
    
    return paths[end][k - 1] if len(paths[end]) >= k else -1

3단계: 전체 알고리즘 통합하기

위의 두 기능을 결합하여 전체 알고리즘을 완성합니다. 입력을 받고 그래프를 만들고 K번째 최단 경로를 찾는 로직을 구현하겠습니다.

def main():
    N, M, K = map(int, input().split())
    edges = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(M)]
    graph = build_graph(edges)
    result = kth_shortest_path(graph, 1, N, K)
    print(result)

if __name__ == "__main__":
    main()

결론 및 마무리

이번 강좌에서는 K번째 최단 경로 찾기 문제를 다루어 보았습니다. 그래프의 구조와 Dijkstra 알고리즘의 변형 방법을 이해하고, 우선순위 큐를 통해 경로를 탐색하는 방법을 익혔습니다. 알고리즘 문제는 다양하게 변형되어 출제될 수 있으므로, 여러 문제를 많이 풀어보는 것이 중요합니다.

이제 여러분은 주어진 문제를 해결할 수 있는 기반을 다졌습니다. K번째 최단 경로 문제뿐만 아니라 다양한 그래프 관련 문제에서도 활용할 수 있는 방법들이므로, 응용력을 키우는 것이 중요합니다. 앞으로도 더 많은 알고리즘과 문제 해결 방법을 연습하시길 바랍니다.

Happy Coding!