[카테고리:] 파이썬 코딩테스트 강좌

코딩테스트에서 자주 출제되는 문제 중 하나는 주어진 정수를 1로 만드는 방법입니다. 이 강좌에서는 이 문제를 해결하기 위해 필요한 알고리즘, 접근법, 그리고 실제 코딩 예제를 통해 자세히 설명하겠습니다. 우리의 목표는 주어진 정수가 1이 될 때까지 최소한의 연산을 수행하는 것입니다.

문제 설명

주어진 정수 X가 있습니다. 다음의 세 가지 연산을 이용하여 이 X를 1로 만들고, 필요한 최소 연산의 횟수를 구하는 문제입니다:

• 1. X - 1
• 2. X / 2 (단, X가 2로 나누어떨어질 때만 가능)
• 3. X / 3 (단, X가 3으로 나누어떨어질 때만 가능)

예를 들어, X = 10일 때, 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

• 10 → 9 (1회)
• 9 → 3 (2회)
• 3 → 1 (3회)

따라서, 총 연산 횟수는 3이 됩니다.

문제 해결 접근법

효율적인 방법으로 이 문제를 해결하기 위해선 DP(동적 프로그래밍)를 사용할 수 있습니다. DP는 문제를 작은 부분 문제로 나누고, 각 부분 문제의 해답을 저장해 중복 계산을 줄이는 방식입니다. 아래 과정을 통해 이 접근법을 자세히 설명하겠습니다.

1단계: DP 테이블 초기화

DP 테이블을 생성하여 각 인덱스 i에 대해 i를 1로 만드는 데 필요한 최소 연산 횟수를 저장합니다. 테이블의 크기는 X + 1로 설정합니다.

X = int(input("정수를 입력하세요: "))
dp = [0] * (X + 1)
    

2단계: 기저 사례 설정

기본적으로 dp[1]의 값은 0입니다. 왜냐하면, 1은 이미 목표이므로 추가적인 연산이 필요 없기 때문입니다.

dp[1] = 0  # 1은 0번의 연산으로 나타낼 수 있습니다.
    

3단계: 점화식 설정

각 정수 i에 대하여 가능한 모든 연산을 수행해 dp[i]의 값을 업데이트합니다.

• 일단 i에서 1을 빼는 경우: dp[i] = dp[i-1] + 1
• 그리고 i가 2로 나누어떨어질 때: dp[i] = min(dp[i], dp[i // 2] + 1)
• 또한 i가 3으로 나누어떨어질 때: dp[i] = min(dp[i], dp[i // 3] + 1)

즉, 우리는 dp[i]의 값을 최소한의 연산으로 업데이트해 나가는 것입니다.

4단계: 최종 결과 도출

모든 정수에 대해 DP 테이블을 다 채운 뒤, dp[X]가 우리가 원하는 결과, 즉 X를 1로 만드는 데 필요한 최소 연산 횟수가 됩니다.

for i in range(2, X + 1):
    dp[i] = dp[i - 1] + 1
    if i % 2 == 0:
        dp[i] = min(dp[i], dp[i // 2] + 1)
    if i % 3 == 0:
        dp[i] = min(dp[i], dp[i // 3] + 1)

print("최소 연산 횟수:", dp[X])
    

전체 코드

아래는 앞서 설명한 내용을 바탕으로 작성한 전체 코드입니다:

def min_operations_to_one(X):
    dp = [0] * (X + 1)
    dp[1] = 0  # 기저 사례: 1은 0번의 연산으로 나타낼 수 있습니다.

    for i in range(2, X + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + 1  # 1을 뺄 경우
        if i % 2 == 0:
            dp[i] = min(dp[i], dp[i // 2] + 1)  # 2로 나눌 경우
        if i % 3 == 0:
            dp[i] = min(dp[i], dp[i // 3] + 1)  # 3으로 나눌 경우

    return dp[X]

# 사용자 입력
X = int(input("정수를 입력하세요: "))
result = min_operations_to_one(X)
print("최소 연산 횟수:", result)
    

복잡도 분석

위의 알고리즘은 시간 복잡도가 O(N)입니다. 이는 X에 대해 반복문을 통해 DP 테이블을 채우기 때문입니다. 공간 복잡도 또한 O(N)입니다. 이는 DP 배열을 저장하기 위한 공간을 필요로 하기 때문입니다.

결론

이 글에서는 주어진 정수를 1로 만드는 문제를 통해 동적 프로그래밍의 기법을 사용해 문제를 해결해 나가는 과정을 설명하였습니다. 코딩테스트를 대비하여 DP의 다양한 활용법을 익히는 것은 매우 중요합니다. 더 많은 연습 문제를 통해 능력을 키우고, 코딩테스트에서 좋은 성과를 거두길 바랍니다!

오늘의 강좌에서는 절댓값 힙을 구현하는 방법에 대해 상세히 알아보겠습니다. 절댓값 힙은 주어진 숫자의 절댓값을 기준으로 최소값 또는 최대값을 찾는 데이터 구조로, 일반적인 힙과 유사하지만 절댓값을 기준으로 동작합니다. 이 강좌에서는 문제 정의부터 시작하여, 알고리즘 설계 및 구현 단계까지 설명하겠습니다.

문제 정의

주어진 정수들에 대해 절댓값을 기준으로 정렬하기 위해, 우리는 다음과 같은 작업을 수행하는 프로그램을 작성해야 합니다:

• 절댓값 힙은 정수값을 삽입할 수 있습니다.
• 최소값을 반환하고 제거할 수 있습니다.

입력값은 다음과 같이 주어집니다:

• 입력 첫 줄에는 수행할 연산의 수 N이 주어집니다.
• 이후 N개의 줄에 걸쳐 정수 X가 주어집니다. 이때, X는 0이면 최소값을 반환하고 힙에서 제거합니다.

예제 입력

    9
    1
    -1
    0
    -2
    0
    2
    0
    -3
    0
    

예제 출력

    1
    -1
    2
    -2
    -3
    

문제 해결 전략

이 문제의 가장 중요한 점은 정수 값을 삽입할 때, 절댓값에 따라 정렬해야 한다는 점입니다. 따라서 우선 정수 값을 삽입할 때, 기본적으로 파이썬의 heapq 모듈을 사용하여 최소 힙(min-heap)을 구현할 수 있습니다. 그러나 직접 절댓값을 기준으로 힙을 관리할 필요가 있습니다.

다음 전략을 사용할 수 있습니다:

1. 입력값을 두 개의 요소를 가진 튜플로 변환하여 힙에 삽입합니다: (절댓값, 원래값).
2. 힙에서 최소값을 가져올 때, 절댓값이 동일한 경우 원래값의 순서에 따라 반환합니다.
3. 입력이 0일 때, 힙에서 최소값을 제거하고 반환합니다.

구현 단계

이제 위와 같은 전략을 기반으로 절댓값 힙을 구현해보겠습니다. 다음과 같은 코드를 사용하여 문제를 해결할 수 있습니다:

    import heapq
    import sys

    input = sys.stdin.readline

    def absolute_heap():
        heap = []
        N = int(input())
        
        for _ in range(N):
            X = int(input().strip())

            if X != 0:
                # 절댓값과 원래값을 쌍으로 힙에 삽입
                heapq.heappush(heap, (abs(X), X))
            else:
                # 0이 입력되었을 때, 최소값을 꺼냄
                if heap:
                    print(heapq.heappop(heap)[1])
                else:
                    print(0)

    if __name__ == "__main__":
        absolute_heap()
    

코드 설명

1. heapq: 파이썬의 내장 힙 모듈입니다. 이를 통해 기본적으로 최소 힙을 쉽게 사용할 수 있습니다.

2. input: sys.stdin.readline을 이용해 입력을 빠르게 받을 수 있습니다.

3. heap: 절댓값과 원래 값을 쌍으로 저장하기 위한 리스트입니다.

4. 각 정수 X를 읽고, X가 0이 아닐 경우에는 그 값의 절댓값과 원래값을 쌍으로 힙에 삽입합니다.

5. X가 0일 경우에는 힙에서 최소값을 꺼내고 원래값을 출력합니다.

복잡도 분석

이 알고리즘의 시간 복잡도는 다음과 같습니다:

• 힙에 원소를 삽입할 때의 시간 복잡도는 O(log N)입니다.
• 힙에서 원소를 꺼낼 때의 시간 복잡도도 O(log N)입니다.

따라서 전체 알고리즘의 시간 복잡도는 O(N log N)입니다.

결론

이번 강좌에서는 절댓값 힙의 개념을 이해하고, 이를 파이썬으로 구현하는 방법에 대해 알아보았습니다. 절댓값 힙을 구현하는 과정에서 중요한 것은 원래값과 절댓값을 잘 관리하는 것입니다. 오늘 배운 내용을 바탕으로 다양한 문제를 풀어보시기를 바랍니다.

추가 문제

아래의 문제를 풀어보며 절댓값 힙에 대한 이해를 더욱 깊이 있게 해보세요:

문제: 절댓값 힙을 사용하여 주어진 수의 합을 구하는 프로그램을 작성하세요. 절댓값 힙을 통해 최소값을 찾아내고, 모든 입력이 처리될 때까지 반복합니다.

위 문제를 해결하기 위해서는 힙에서 제거한 값을 누적하여 합계를 기록하면 됩니다. 직접 코드를 작성해보시고, 이번 강좌에서 배운 원리를 적용해보세요.

참고 자료

• heapq – The Python Standard Library
• 프로그래머스 – 이중 우선순위 큐 문제 페이지

감사합니다. 다음 강좌에서 만나요!

본 강좌에서는 임계 경로 문제를 해결하기 위한 알고리즘에 대해 알아보겠습니다. 임계 경로(Critical Path)는 프로젝트 관리에서 각 작업의 시작 및 완료 시점을 보여주는 것으로, 전체 프로젝트를 완료하는 데 가장 길게 걸리는 경로를 의미합니다. 엔지니어링 및 소프트웨어 프로젝트에서 매우 중요한 개념이며, 실제 코딩 테스트에서도 자주 출제되는 주제 중 하나입니다.

문제 정의

다음과 같은 구조의 방향 그래프가 주어질 때, 임계 경로를 구하는 문제를 다루고자 합니다. 그래프의 각 노드는 작업을 의미하며, 엣스는 작업 간의 선후 관계를 의미합니다. 우리가 구해야 할 것은 전체 작업을 완료하기 위한 최소 소요 시간을 계산하는 것입니다.

문제 설명

입력:
- n (1 ≤ n ≤ 100): 작업의 수
- edges: 각 작업 간의 의존 관계를 나타내는 리스트로, 각 요소는 튜플 (u, v, w)로 이루어져 있으며,
  여기서 u는 작업의 시작 노드, v는 작업의 끝 노드, w는 작업을 완료하는데 필요한 시간

출력:
- 전체 작업을 완료하는데 걸리는 가장 긴 시간 (임계 경로의 길이)

예제 입력

n = 5
edges = [
    (1, 2, 3),
    (1, 3, 2),
    (2, 4, 4),
    (3, 4, 5),
    (4, 5, 1)
]

예제 출력

8

문제 풀이 및 접근 방법

이 문제를 해결하기 위해서는 다음과 같은 단계를 따라서 구현할 수 있습니다.

1. 방향 그래프 표현

우선 입력 받은 엣지 정보를 바탕으로 그래프를 구조화해야 합니다. 이를 위해, 인접 리스트 형태로 그래프를 구성하겠습니다. 또한 각 작업의 완료 시간을 저장하기 위한 배열을 준비합니다.

from collections import defaultdict
import sys

def critical_path(n, edges):
    graph = defaultdict(list)
    in_degree = [0] * (n + 1)
    completion_time = [0] * (n + 1)

    # 그래프 구성 및 진입 차수 계산
    for u, v, w in edges:
        graph[u].append((v, w))
        in_degree[v] += 1

2. 위상 정렬

다음 단계는 그래프의 위상 정렬을 수행하여 모든 작업을 안전하게 처리할 수 있도록 하는 것입니다. 위상 정렬을 통해 각 작업이 완료되는 순서를 정할 수 있으며, 작업의 의존성을 고려해야 합니다.

    # 위상 정렬 수행
    zero_degree_queue = []
    for i in range(1, n + 1):
        if in_degree[i] == 0:
            zero_degree_queue.append(i)
    
    topo_order = []
    while zero_degree_queue:
        node = zero_degree_queue.pop(0)
        topo_order.append(node)
        for neighbor, duration in graph[node]:
            in_degree[neighbor] -= 1
            if in_degree[neighbor] == 0:
                zero_degree_queue.append(neighbor)

3. 최소 소요 시간 계산

이제 위상 정렬된 순서대로 각 작업의 완료 시간을 계산합니다. 각 작업을 수행할 때마다, 해당 작업에 연결된 모든 노드의 완료 시간을 갱신하게 됩니다. 이를 통해 각 작업까지의 소요 시간을 저장할 수 있습니다.

    for node in topo_order:
        for neighbor, duration in graph[node]:
            completion_time[neighbor] = max(completion_time[neighbor], completion_time[node] + duration)

    # 전체 작업 완료하는데 걸리는 최대 시간
    return max(completion_time)

4. 전체 코드 작성

모든 단계를 통합하여 최종 코드를 작성하겠습니다.

def critical_path(n, edges):
    graph = defaultdict(list)
    in_degree = [0] * (n + 1)
    completion_time = [0] * (n + 1)

    # 그래프 구성 및 진입 차수 계산
    for u, v, w in edges:
        graph[u].append((v, w))
        in_degree[v] += 1

    # 위상 정렬 수행
    zero_degree_queue = []
    for i in range(1, n + 1):
        if in_degree[i] == 0:
            zero_degree_queue.append(i)
    
    topo_order = []
    while zero_degree_queue:
        node = zero_degree_queue.pop(0)
        topo_order.append(node)
        for neighbor, duration in graph[node]:
            in_degree[neighbor] -= 1
            if in_degree[neighbor] == 0:
                zero_degree_queue.append(neighbor)

    # 각 작업의 완료 시간 계산
    for node in topo_order:
        for neighbor, duration in graph[node]:
            completion_time[neighbor] = max(completion_time[neighbor], completion_time[node] + duration)

    # 전체 작업 완료하는데 걸리는 최대 시간
    return max(completion_time)

# 예제 실행
if __name__ == "__main__":
    n = 5
    edges = [
        (1, 2, 3),
        (1, 3, 2),
        (2, 4, 4),
        (3, 4, 5),
        (4, 5, 1)
    ]
    result = critical_path(n, edges)
    print("임계 경로의 길이:", result)

결론

이번 강좌에서는 임계 경로를 구하는 방법에 대해 알아보았습니다. 그래프 이론과 위상 정렬을 통해 각각의 작업을 안전하게 처리하고, 각 작업의 소요 시간을 계산하여 임계 경로를 도출하는 방식으로 문제를 해결했습니다. 이러한 접근법은 결과적으로 다양한 프로젝트 관리 및 스케줄링 문제에 적용될 수 있습니다.

더불어 실무에서도 이러한 알고리즘은 복잡한 프로젝트 관리의 기초로, 효율성을 높이는 데에 큰 도움을 줄 것입니다. 앞으로도 다양한 알고리즘 문제를 다루면서 프로그래밍 실력을 키워나가길 바랍니다.

이 블로그 포스트에서는 Python을 사용하여 이항계수를 구하는 방법에 대해 자세히 알아보겠습니다.
이항계수는 조합론에서 중요한 개념으로, 주어진 n개의 원소 중에서 r개의 원소를 선택하는 방법의 개수를 의미합니다.
이항계수는 다음과 같은 수식으로 정의됩니다.

이항계수의 정의

이항계수 C(n, r)는 다음과 같이 정의됩니다:

C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)

여기에서 n!은 n의 팩토리얼을 의미하며, n부터 1까지의 모든 자연수의 곱입니다.
예를 들어, 5!는 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120입니다. 이항계수는 조합의 수를 계산하는 데 매우 유용합니다.

문제 설명

주어진 정수 n과 r에 대해 이항계수 C(n, r)를 계산하는 함수를 작성하세요.
n은 0 이상, r은 0 이상 n 이하의 정수로 주어집니다.

입력 형식

첫 번째 줄에 두 개의 정수 n과 r이 공백으로 구분되어 주어집니다.

출력 형식

이항계수 C(n, r)을 출력합니다.

예제 입력/출력

입력:
5 2
출력:
10

문제 해결 방법

이 문제를 해결하기 위한 여러 가지 접근 방법이 있습니다. 가장 직관적인 방법은 수학적 정의를 이용하여 팩토리얼을 직접 계산하는 것입니다.
그러나 팩토리얼을 직접 계산하는 방법은 큰 n에 대해 비효율적일 수 있습니다.
따라서 이 문제를 더 효율적으로 해결하기 위해 다이나믹 프로그래밍(DP) 접근 방식을 사용해 보겠습니다.

다이나믹 프로그래밍을 이용한 이항계수 계산

이항계수의 성질 중 하나는 다음과 같습니다:

C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)

위의 식을 사용하면 C(n, r)을 이전의 이항계수로 분해할 수 있습니다.
이 방식은 아래와 같은 DP 테이블 형태로 구현할 수 있습니다.

DP 테이블 생성 방법

dp[i][j]를 C(i, j)로 정의합니다. 다음과 같은 규칙을 적용하여 모든 이항계수를 구할 수 있습니다:

• dp[i][0] = 1 (모든 i에 대해)
• dp[i][i] = 1 (모든 i에 대해)
• 그 외 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j] (0 < j < i)

파이썬 구현

아래는 이항계수를 계산하는 파이썬 코드입니다:

def binomial_coefficient(n, r):
    # 2D DP 테이블 초기화
    dp = [[0] * (r + 1) for _ in range(n + 1)]

    # DP 테이블 채우기
    for i in range(n + 1):
        for j in range(min(i, r) + 1):
            if j == 0 or j == i:
                dp[i][j] = 1
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]

    return dp[n][r]

# 예시 호출
n, r = map(int, input().split())
print(binomial_coefficient(n, r))

시간 복잡도 분석

위의 알고리즘은 O(n * r)의 시간 복잡도를 가지고 있습니다.
중첩된 두 개의 for 루프가 있기 때문에, 최악의 경우에는 모든 n과 r의 값을 다루게 됩니다.
그러나 작은 범위의 n과 r에 대해서는 매우 빠르게 동작할 수 있습니다.
이 알고리즘은 이항계수를 효과적으로 계산할 수 있는 좋은 방법입니다.

결론

이 포스트에서는 이항계수 C(n, r)를 구하는 다양한 방법을 알아보았습니다.
전통적인 팩토리얼을 이용한 방법에서부터 다이나믹 프로그래밍을 활용한 방법까지,
각 접근 방식의 장단점을 살펴보았습니다.
코딩 테스트에서 이항계수 문제는 매우 흔하게 등장하는 문제 유형이므로,
본 내용을 잘 숙지하시기 바랍니다.

작성자: 조광형 | 날짜: 2024년 11월 26일

1. 이항계수란?

이항계수는 조합론에서 두 개의 정수 n,k에 대해 정의됩니다. n개 중에서 k개를 선택하는
방법의 수를 나타내며, 표기법은 C(n, k) 또는 (n choose k)입니다. 이항계수는
다음과 같이 계산됩니다:

• C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

여기서 n!은 n의 팩토리얼로, n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 1입니다.
이항계수는 조합 문제를 해결할 때 매우 유용하게 사용됩니다.

2. 문제 설명

문제: 주어진 n과 k에 대해 이항계수 C(n, k)를 계산하는 함수를 작성하시오.
n은 0부터 30까지의 정수이고, k는 0부터 n까지의 정수이다.

3. 문제 해결 접근법

이 문제는 이항계수를 계산하기 위한 여러 가지 방법이 있습니다.
우리는 재귀, 동적 프로그래밍, 또는 수학 공식을 이용한 방법 등을 사용하여 해결할 수 있습니다.
여기에서는 동적 프로그래밍(Dynamic Programming) 방식을 사용하여 문제를 해결할 것입니다.

3.1 동적 프로그래밍(Dynamic Programming)

동적 프로그래밍은 문제를 작은 하위 문제로 나누고, 이 하위 문제의 결과를
저장하여 이후 문제에 재사용하는 방식입니다. 이항계수는 다음의 점화식을
활용하여 계산할 수 있습니다:

• C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)
• 기본 경우: C(n, 0) = C(n, n) = 1

위의 점화식에서 각각의 경우에 대해 이항계수를 재귀적으로 구할 수 있지만
중복 계산이 발생하게 됩니다. 이를 피하기 위해 DP 테이블을 사용하여 강의를
진행하겠습니다.

4. 구현

이제 이항계수를 계산하기 위한 파이썬 함수의 코드를 작성해보겠습니다.
DP 테이블을 사용하여 이항계수를 구하는 방식을 구현할 것입니다.

def binomial_coefficient(n, k):
    # DP 테이블 초기화
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]

    # 기본 경우 설정
    for i in range(n + 1):
        dp[i][0] = 1  # C(i, 0) = 1
        dp[i][i] = 1  # C(i, i) = 1

    # 점화식에 따라 DP 테이블을 채움
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, min(i, k) + 1):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1]

    return dp[n][k]

            

위의 코드에서, 주어진 n과 k에 대해 DP 테이블을 초기화하고 기본 경우를 설정한 뒤
점화식을 통해 DP 테이블을 채워나갑니다.
결과적으로 dp[n][k]에 이항계수가 저장됩니다.

5. 테스트

위에서 구현한 함수를 테스트해볼 차례입니다. C(5, 2)와 같은 간단한 예제를 사용하여
함수의 정확성을 검증해보겠습니다.

# 테스트
print(binomial_coefficient(5, 2))  # 출력: 10
print(binomial_coefficient(30, 15))  # 출력: 155117520

            

이와 같이 함수를 호출하여 이항계수를 계산하고 그 결과를 출력할 수 있습니다.
위의 입력값에 대한 결과가 맞는지를 확인해보세요.

6. 결론

이번 강좌를 통해 이항계수의 정의와 계산 방법에 대해 알아보았습니다.
동적 프로그래밍을 통해 효율적으로 이항계수를 계산할 수 있는 방법을 배웠습니다.
파이썬을 사용하여 구현하는 과정 또한 자세히 살펴보았습니다.
이 알고리즘은 실제 코딩 테스트 및 알고리즘 문제 해결에서 자주 사용되므로,
잘 익혀두시기 바랍니다.

추가적으로, 이항계수와 관련된 고급 문제들을 풀어보며 실력을 더욱 단련해보세요.
감사합니다.