[카테고리:] C++ 코딩테스트 강좌

코딩 테스트 준비 중 수학과 알고리즘 문제에 대한 이해는 매우 중요합니다. 오늘은 오일러 피 함수에 대해 논의하고 이를 C++로 구현하는 방법을 알아보겠습니다. 오일러 피 함수는 주어진 정수 n보다 작거나 같은 양의 정수와 서로소인 정수의 개수를 반환하는 함수입니다. 이는 수론에 많은 응용이 있으며, 수학적 문제를 해결하는 데 유용합니다.

1. 오일러 피 함수 소개

오일러 피 함수는 다음과 같이 정의됩니다:

• 주어진 n에 대해서, φ(n) = n * (1 – 1/p1) * (1 – 1/p2) * … * (1 – 1/pk),

여기서 p1, p2, … pk는 n의 서로소인 모든 소수입니다. 예를 들어, φ(6)은 다음과 같이 계산됩니다:

• n = 6, 소수 p = 2, 3
• φ(6) = 6 * (1 – 1/2) * (1 – 1/3) = 6 * 1/2 * 2/3 = 2

1.1 오일러 피 함수의 성질

• φ(1) = 1
• 만약 p가 소수이고 k가 양의 정수일 때, φ(p^k) = p^k * (1 – 1/p)
• n의 두 수 a, b가 서로소일 때, φ(ab) = φ(a) * φ(b)

2. 문제 설명

문제: 주어진 정수 n에 대해 오일러 피 함수를 계산하는 C++ 프로그램을 작성하시오.

입력: 정수 n (1 ≤ n ≤ 10⁶)

출력: 정수 φ(n)

3. 알고리즘 설계

오일러 피 함수를 직접 계산하는 방법은 비효율적일 수 있습니다. 소수를 미리 구한 후 위에서 정의한 식을 이용하여 φ(n)을 계산할 수 있습니다. 이를 위해 다음과 같은 단계로 알고리즘을 설계합니다.

1. 먼저, 에라토스테네스의 체를 사용하여 n 이하의 모든 소수를 구합니다.
2. 구한 소수를 이용해 φ(n)을 계산합니다.

3.1 에라토스테네스의 체

에라토스테네스의 체는 소수를 신속하게 찾기 위한 고전적인 알고리즘입니다. 이 알고리즘은 시간 복잡도가 O(n log log n)으로 매우 효율적입니다.

4. C++ 코드 구현

이제 전체 알고리즘을 C++ 코드로 구현해 보겠습니다. 다음은 오일러 피 함수를 계산하는 C++ 코드입니다.

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 오일러 피 함수 계산
int eulerPhi(int n) {
    int result = n; // 초기값은 n
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        // 만약 i가 n의 약수라면
        if (n % i == 0) {
            // 소수를 곱해서 결과를 조정합니다
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
            }
            result -= result / i; // 결과 계산
        }
    }
    // 마지막에 남은 n이 소수일 경우
    if (n > 1) {
        result -= result / n; // 소수에 대한 결과 처리
    }
    return result;
}

int main() {
    int n;
    cout << "정수를 입력하세요: ";
    cin >> n;
    
    cout << "φ(" << n << ") = " << eulerPhi(n) << endl;
    return 0;
}

5. 코드 설명

위 코드는 다음과 같은 단계로 작동합니다:

• eulerPhi(int n) 함수는 주어진 정수 n에 대해 오일러 피 함수를 계산하고 반환합니다.
• 변수 result는 초기값으로 n을 가지며, 소수가 발견될 때마다 이 값을 업데이트합니다.
• 소수 i가 n의 약수일 경우, n을 i로 나누어가며 i의 배수를 제거합니다. 이 과정에서 소수에 따라 결과를 조정합니다.
• 모든 소수를 검사한 후, 만약 n이 1보다 큰 경우 (즉, n이 소수인 경우) 추가로 처리합니다.

6. 코드 테스트

코드를 완료한 후, 다양한 테스트 케이스로 함수를 검증해 볼 수 있습니다. 예를 들면:

• n = 1일 때, φ(1) = 1
• n = 6일 때, φ(6) = 2
• n = 9일 때, φ(9) = 6

7. 성능 분석

위 알고리즘은 O(√n)의 시간복잡도를 가지고 있으며, n이 최대 10⁶일 때도 상대적으로 빠르게 작동합니다. 공간 복잡도는 O(1)로 추가적인 메모리 사용이 거의 없습니다. 이러한 이유로 대규모 데이터에서도 효율적으로 사용될 수 있습니다.

8. 결론

오늘의 포스트에서는 오일러 피 함수의 개념과 이를 C++로 구현하는 방법을 배웠습니다. 오일러 피 함수는 다양한 수학적 문제의 해결에 유용하게 사용될 수 있으며, 컴퓨터 프로그래밍에서 큰 역할을 합니다. 이러한 문제를 풀어보는 것은 코딩 테스트 준비에 큰 도움이 될 것입니다.

코드에 대한 질문이나 피드백이 있다면 댓글로 남겨 주세요! 다음 포스트에서는 또 다른 알고리즘 문제를 다룰 예정입니다. 감사합니다!

안녕하세요! 이번 강좌에서는 C++를 사용하여 오일러 피(Euler’s Totient Function) 문제를 해결하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 이 문제는 숫자 n이 주어졌을 때, n보다 작거나 같은 정수 중에서 n과 서로소인 정수의 개수를 구하는 함수입니다.

오일러 피 함수란?

오일러 피 함수 φ(n)은 숫자 n과 서로소인 숫자들의 개수를 나타내는 함수입니다. 예를 들어:

• φ(1) = 1 (1은 항상 자신과 서로소)
• φ(2) = 1 (2보다 작은 수 중 2와 서로소인 수는 1)
• φ(3) = 2 (1과 2가 3과 서로소)
• φ(4) = 2 (1과 3이 4와 서로소)
• φ(5) = 4 (1, 2, 3, 4가 5와 서로소)

문제 설명

주어진 n에 대해 φ(n)의 값을 계산하는 알고리즘을 작성하세요. 입력은 정수 n (1 ≤ n ≤ 10⁶)입니다.

예제 입력

10

예제 출력

4

Explanation: 1, 3, 7, 9가 10과 서로소입니다.

문제를 푸는 과정

1단계: 프로퍼티 이해하기

오일러 피 함수의 값은 다음과 같은 프로퍼티를 가지고 있습니다:

• p가 소수일 때, φ(p) = p – 1
• p가 소수일 때, φ(p^k) = p^k – p^k-1 = p^k(1 – 1/p)
• 두 소수 p와 q가 서로소일 때, φ(p*q) = φ(p) * φ(q)

2단계: 에라토스테네스의 체를 활용한 구간 계산

n까지의 모든 수의 오일러 피 값을 구하기 위해, 에라토스테네스의 체 방법을 사용하여 합성수를 찾아고, 피 값을 계산할 수 있습니다. 이 방법은 시간복잡도가 O(n log log n)입니다.

3단계: 알고리즘 구현

다음은 C++로 오일러 피 함수를 계산하기 위한 구현입니다:

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

void eulerTotient(int n, vector<int>& phi) {
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        phi[i] = i; // initialize phi
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (phi[i] == i) { // i가 소수인 경우
            for (int j = i; j <= n; j += i) {
                phi[j] *= (i - 1); // 소수 p가 들어가므로 (1 - 1/p) 곱하기
                phi[j] /= i;
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n;
    cout << "n의 값을 입력하세요: ";
    cin >> n;

    vector<int> phi(n + 1);
    eulerTotient(n, phi);

    cout << "φ(" << n << ") = " << phi[n] << endl;
    return 0;
}
    

4단계: 코드 설명

위 코드에서:

• 첫 번째로, 각 수에 대해 φ[i]를 초기화합니다.
• 그 다음으로, 소수 i를 찾아서 모든 배수 j에 대해 φ[j]를 업데이트합니다.
• 최종적으로, n의 오일러 피 값은 φ[n]에 저장됩니다.

5단계: 성능 개선

이 알고리즘은 O(n log log n)의 성능을 보입니다. 이는 최대 10⁶ 범위에서도 효율적으로 동작합니다.

결론

이번 강좌에서는 C++를 사용하여 오일러 피 함수를 효율적으로 계산하는 방법을 다뤘습니다. 에라토스테네스의 체를 이용한 방법은 빠르고 유용하며, 코딩 테스트에서도 유용하게 사용될 수 있습니다. 앞으로도 다양한 알고리즘을 공부하며 코딩 실력을 키워보세요!

참고 문헌

• Euler’s Totient Function – Wikipedia
• GeeksforGeeks – Euler’s Totient Function

문제 설명

배열의 연속된 부분 수열의 합을 구하는 문제는 많은 코딩테스트에서 자주 등장하는 주제입니다. 이러한 문제는 제어 흐름, 배열 조작, 그리고 시간 복잡도를 고려하는 능력을 테스트하는 좋은 방법입니다. 이번 강좌에서는 ‘연속 합 구하기’라는 문제를 통해 이 주제를 심도 있게 다뤄보겠습니다.

문제 정의

주어진 정수 배열 arr에서 연속된 k개의 요소의 합을 구하는 함수를 작성하시오. 만약 arr의 길이가 n일 때, k는 1 이상 n 이하의 값을 가져야 합니다. 여기서, 사용자는 연속된 합을 구하기 위해서는 최적화된 방법을 사용해야 하며, 단순 루프를 사용하는 것은 추천하지 않습니다.

입력

• 첫 번째 줄에 정수 n (1 ≤ n ≤ 10^5)과 k (1 ≤ k ≤ n)이 주어집니다.
• 두 번째 줄에 n개의 정수로 이루어진 배열 arr가 주어집니다.

출력

연속된 k개의 요소의 합의 최댓값을 출력합니다.

예제

    입력:
    5 3
    1 2 3 4 5

    출력:
    12
    

설명: 연속된 3개의 요소는 (3, 4, 5)로 총합은 12입니다.

문제 풀이 과정

이 문제를 풀기 위해서는 두 가지 주요 방법이 있습니다: 단순 반복을 통한 모든 조합 계산과 슬라이딩 윈도우(sliding window) 기법을 통한 최적화 접근법입니다.

1. 단순 반복 방식

단순 반복 방식을 사용하여 연속된 k개의 항목의 합을 계산할 수 있지만, 이 방법은 O(n*k)의 시간 복잡도를 가지기 때문에 배열의 크기가 커질 경우 비효율적입니다.

    void simpleSum(int arr[], int n, int k) {
        int maxSum = 0;
        for (int i = 0; i <= n - k; i++) {
            int currentSum = 0;
            for (int j = 0; j < k; j++) {
                currentSum += arr[i + j];
            }
            maxSum = max(maxSum, currentSum);
        }
        cout << maxSum << endl;
    }
    

2. 슬라이딩 윈도우 기법

슬라이딩 윈도우 기법은 연속된 k개의 요소의 합을 유지하면서 이전 값을 빼고 새로운 값을 더하는 방식으로 작동합니다. 이 접근법을 사용하면 시간 복잡도를 O(n)으로 줄일 수 있습니다.

    void slidingWindowSum(int arr[], int n, int k) {
        int maxSum = 0, currentSum = 0;

        // 첫 k개 요소의 합을 계산
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            currentSum += arr[i];
        }
        maxSum = currentSum;

        // 슬라이딩 윈도우를 통해 합을 계산
        for (int i = k; i < n; i++) {
            currentSum += arr[i] - arr[i - k];
            maxSum = max(maxSum, currentSum);
        }
        
        cout << maxSum << endl;
    }
    

코드 구현

위의 두 방법 중 슬라이딩 윈도우 기법이 더 효율적이기 때문에 이 방법을 선택하여 전체 코드를 작성하겠습니다.

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    using namespace std;

    void slidingWindowSum(int arr[], int n, int k) {
        int maxSum = 0, currentSum = 0;

        // 첫 k개 요소의 합을 계산
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            currentSum += arr[i];
        }
        maxSum = currentSum;

        // 슬라이딩 윈도우를 통해 합을 계산
        for (int i = k; i < n; i++) {
            currentSum += arr[i] - arr[i - k];
            maxSum = max(maxSum, currentSum);
        }
        
        cout << maxSum << endl;
    }

    int main() {
        int n, k;
        cin >> n >> k;
        int arr[n];
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> arr[i];
        }
        slidingWindowSum(arr, n, k);
        return 0;
    }
    

결론

이 강좌에서는 ‘연속 합 구하기’라는 문제를 통해 배열의 연속된 부분 수열의 합을 구하는 방법을 살펴보았습니다. 슬라이딩 윈도우 기법을 사용하여 시간 복잡도를 O(n)으로 줄이는 최적화된 접근법을 사용함으로써 보다 효율적으로 코딩 테스트를 준비할 수 있기를 바랍니다.

참고 자료

– 알고리즘 문제 해결을 위한 기본 개념들
– C++ STL 활용하기
– 코드 최적화와 테스트 패턴

이번 강좌에서는 연속된 자연수의 합을 구하는 문제를 다루어 보겠습니다. 이 문제는 알고리즘과 수학적 사고 능력을 동시에 평가할 수 있는 좋은 문제입니다. 예를 들어, 주어진 정수 N이 있을 때, N을 연속된 자연수들의 합으로 나타낼 수 있는 경우의 수를 구하는 문제를 살펴보겠습니다.

문제 설명

주어진 정수 N이 있을 때, N을 연속된 자연수들의 합으로 표현할 수 있는 경우의 수를 구하는 함수를 작성하세요.

• 입력: 하나의 정수 N (1 ≤ N ≤ 10⁶)
• 출력: N을 연속된 자연수들의 합으로 표현할 수 있는 경우의 수

문제 예시

입력: 15
출력: 4
설명: 15는 다음과 같이 연속된 자연수의 합으로 표현될 수 있습니다:
- 15 = 15
- 15 = 7 + 8
- 15 = 4 + 5 + 6
- 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

문제 접근 방법

이 문제를 해결하기 위해서는 연속된 자연수의 합에 대한 수학적 성질을 이해할 필요가 있습니다. 연속된 자연수의 합 S는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

S = a + (a + 1) + (a + 2) + ... + (a + (k-1)) = k * a + (0 + 1 + 2 + ... + (k-1))
S = k * a + (k * (k - 1)) / 2

여기서, a는 첫 번째 자연수, k는 연속된 자연수의 개수입니다. 위의 식을 변형하면, 다음과 같은 관계를 도출할 수 있습니다:

N = k * a + (k * (k - 1)) / 2
N - (k * (k - 1)) / 2 = k * a

따라서, N – (k * (k – 1)) / 2가 k의 배수인 경우, 자연수 a를 구할 수 있습니다. 이 조건을 만족하면 N을 k개의 연속된 자연수의 합으로 나타낼 수 있습니다.

구현 전략

문제를 해결하는 구체적인 알고리즘은 다음과 같습니다:

1. k는 1부터 시작하여 N 이하로 진행합니다.
2. 각 k에 대해 N – (k * (k – 1)) / 2를 계산합니다.
3. 계산된 값이 k의 배수인지 확인합니다.
4. 배수라면 경우의 수를 증가시킵니다.

C++ 코드 구현

이제 위 알고리즘을 C++ 코드로 구현해 보겠습니다.

#include <iostream>

using namespace std;

int countConsecutiveSum(int N) {
    int count = 0;

    for (int k = 1; k * (k - 1) / 2 < N; ++k) {
        int tmp = N - (k * (k - 1) / 2);
        if (tmp % k == 0) {
            count++;
        }
    }

    return count;
}

int main() {
    int N;
    cout << "N을 입력하세요: ";
    cin >> N;

    int result = countConsecutiveSum(N);
    cout << "연속된 자연수의 합으로 표현할 수 있는 경우의 수: " << result << endl;

    return 0;
}

실행 예시

N을 입력하세요: 15
연속된 자연수의 합으로 표현할 수 있는 경우의 수: 4

시간 복잡도 분석

이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(√N)입니다. 이는 k의 최대값이 N보다 작기 때문에 k에 대한 반복문이 N보다 빨리 종료될 수 있기 때문입니다. 이 정도의 시간 복잡도는 주어진 문제의 입력 범위 내에서도 충분히 효율적이라고 할 수 있습니다.

결론

이번 강좌에서는 연속된 자연수의 합을 구하는 문제를 통해 알고리즘 설계의 기본 개념과 C++ 구현 방법에 대해 알아보았습니다. 이와 같은 문제를 통해 알고리즘을 학습하고 실제 코딩 테스트에서 활용할 수 있는 지식을 쌓아 나가길 바랍니다.

안녕하세요! 오늘은 C++ 코딩테스트에서 자주 등장하는 알고리즘 문제 중 하나인 “연결 요소의 개수 구하기”에 대해 알아보겠습니다. 이 문제는 그래프 이론에서 중요한 개념 중 하나인 ‘연결 요소’를 이해하고 구현하는 데 큰 도움이 될 것입니다.

문제 설명

주어진 무방향 그래프에서 연결 요소의 개수를 구하는 문제입니다. 연결 요소란 그래프의 부분 그래프 중에서 서로 연결된 정점들로 이루어진 집합을 의미합니다. 그래프의 정점들 사이에 간선이 있을 때, 직간접적으로 연결된 모든 정점들은 하나의 연결 요소로 간주됩니다. 예를 들어, 아래와 같은 그래프가 있다고 가정해 봅시다.

    1
   / \
  0   2
      |
      3

이 그래프는 1, 0, 2, 3이 연결된 하나의 연결 요소이며, 다음과 같은 독립된 정점이 있을 경우 연결 요소의 개수는 두 개가 됩니다.

그림과 같이 1, 2, 3이 포함된 연결 요소와 4가 포함된 연결 요소로 구분될 수 있습니다.

입력 형식

• 첫 번째 줄에는 정점의 개수 N (1 ≤ N ≤ 1000)과 간선의 개수 M (0 ≤ M ≤ N*(N-1)/2)이 주어진다.
• 다음 M개의 줄에 걸쳐 각 간선에 대한 정보를 나타내며, 두 개의 정점 A와 B가 주어진다. 이를 통해 정점 A와 B가 연결되어 있음을 나타냅니다.

출력 형식

연결 요소의 개수를 출력합니다.

예제

입력:
5 3
0 1
0 2
3 4

출력:
2

문제 풀이

이 문제를 해결하기 위해서는 다음과 같은 과정으로 접근합니다.

1. 그래프 표현

그래프를 표현하기 위해 인접 리스트(adjacency list)를 사용합니다. 각 정점에 대한 연결 정보를 저장하는 벡터를 선언하고, M개의 간선 정보를 입력받아 그래프를 구성합니다. C++ STL의 vector를 활용하여 쉽게 구현할 수 있습니다.

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector> graph;
void addEdge(int a, int b) {
    graph[a].push_back(b);
    graph[b].push_back(a);
}

2. DFS 또는 BFS 이용하기

연결 요소의 개수를 구하기 위해 그래프의 모든 정점을 탐색할 필요가 있습니다. 우리가 선택한 탐색 방법은 깊이 우선 탐색(DFS)입니다. 이를 통해 현재 탐색하는 정점과 연결된 모든 정점들을 방문하게 됩니다. 방문한 정점들은 미처리 상태에서 ‘방문’ 상태로 변경하여 중복 방문을 피합니다.

void dfs(int node, vector& visited) {
    visited[node] = true; // 현재 노드를 방문 상태로 변경
    for (int neighbor : graph[node]) {
        if (!visited[neighbor]) {
            dfs(neighbor, visited);
        }
    }
}

3. 주요 변수 및 로직 구현

연결 요소의 개수를 세기 위한 변수 components를 선언하고, 모든 정점을 차례대로 탐색합니다. 각 정점을 방문할 때마다 DFS를 호출하고, 호출 전에 components를 증가시킵니다. 이 단계에서 모든 정점을 확인하면 총 연결 요소의 개수를 알 수 있습니다.

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    graph.resize(n);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        addEdge(a, b);
    }

    vector visited(n, false);
    int components = 0;

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (!visited[i]) {
            dfs(i, visited);
            components++; // 새로운 연결 요소 발견
        }
    }

    cout << components << endl; // 결과 출력
    return 0;
}

전체 코드

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector> graph;

// 간선 추가 함수
void addEdge(int a, int b) {
    graph[a].push_back(b);
    graph[b].push_back(a);
}

// DFS 함수
void dfs(int node, vector& visited) {
    visited[node] = true; // 현재 노드를 방문 상태로 변경
    for (int neighbor : graph[node]) {
        if (!visited[neighbor]) {
            dfs(neighbor, visited);
        }
    }
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    graph.resize(n);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        addEdge(a, b);
    }

    vector visited(n, false);
    int components = 0;

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (!visited[i]) {
            dfs(i, visited);
            components++; // 새로운 연결 요소 발견
        }
    }

    cout << components << endl; // 결과 출력
    return 0;
}

알고리즘 복습

이제 이 문제를 통해 우리는 그래프를 표현하고, DFS를 통해 연결 요소를 탐색하는 방법을 배웠습니다. 알고리즘의 복잡도는 다음과 같습니다:

• 시간 복잡도: O(N + M), 여기서 N은 정점의 수, M은 간선의 수입니다.
• 공간 복잡도: O(N + M) 그래프를 저장하기 위한 공간과 방문 여부를 저장하기 위한 공간이 필요합니다.

문제 해결을 위한 팁

• 문제를 풀기 전에 그래프가 어떻게 구성되었는지 그림으로 그려보세요. 이를 통해 문제 이해가 더 쉬워집니다.
• 각 연결 요소를 찾을 때 BFS를 사용해도 좋습니다. BFS는 레벨 순서로 탐색하기 때문에 특정 문제에서 유리할 수 있습니다.
• 상황에 따라 연결 요소의 개수 외에도 각 요소의 크기 또는 구조를 분석하는 문제가 나올 수 있으니, 그래프 탐색을 익히는 것이 좋습니다.

여기까지가 “연결 요소의 개수 구하기” 문제 풀이였습니다. 이 강좌가 유익했기를 바라며, 앞으로 다양한 알고리즘과 문제들을 함께 살펴보겠습니다. 감사합니다!